2.8　根据方程绘制剪力图与弯矩图

作用在梁上的平面载荷，如果不包含纵向力，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线，分别称为剪力图（diagram of shearing force）和弯矩图（diagram of bending moment）。

绘制剪力图和弯矩图有两种方法。第一种方法：根据剪力方程和弯矩方程，在FQ-x和M-x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。

绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：先在FQ-x和M-x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，无须首先建立剪力方程和弯矩方程。

本节介绍根据剪力方程与弯矩方程绘制剪力图与弯矩图的方法，其过程与绘制轴力图和扭矩图的方法大体相似，但略有差异。主要步骤如下：

（1）根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面，从而确定要不要分段以及分几段。

（2）应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩的数值（包括正负号）。

（3）分段建立剪力方程以及弯矩方程。

（4）建立FQ-x和M-x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点。

（5）根据各段的剪力方程和弯矩方程，在控制面之间绘制剪力图和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。

下面举例说明。

【例题2-5】　简支梁受力的大小和方向如图2-13（a）所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定剪力和弯矩绝对值的最大值：∣FQ∣max和∣M∣max。

解：1.确定约束力

根据力矩平衡方程

∑MA=0　　∑MB=0

可以求得A、F两处的约束力

方向如图2-13（a）所示。

2.建立坐标系

建立FQ-x和M-x坐标系，分别如图2-13（b）、图2-13（c）所示。

3.确定控制面及控制面上的剪力和弯矩值

集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，图2-13（a）所示A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。

应用力系简化方法，求得这些控制面上的剪力和弯矩值分别为

A截面：FQ=-17.8kN，M=0

B截面：FQ=-17.8kN，M=-26.7kN·m

C截面：FQ=-17.8kN，M=-6.7kN·m

D截面：FQ=-17.8kN，M=-33.3kN·m

E截面：FQ=22.2kN，M=-33.3kN·m

F截面：FQ=22.2kN，M=0

将这些值分别标在FQ-x和M-x坐标系中，便得到a、b、c、d、e、f各点，如图2-13（b）、图2-13（c）所示。

4.根据剪力弯矩方程绘制剪力图和弯矩图

从图2-13中可以看出，A点、F点为约束力作用处，BC点作用一集中力偶，DE点作用一集中力，故需要分为AB、CD和EF段分别建立剪力方程和弯矩方程。

AB段：由平衡方程

∑Fy=0，-17.8kN-FQ（x1）=0

∑M=0，M（x1）+17.8kN×x1=0

解得

FQ（x1）=-17.8kN（0mm<x1<1500mm）

M（x1）=-17.8kN×x1（0mm<x1<1500mm）

CD段：由平衡方程

∑Fy=0，-17.8kN-FQ（x2）=0

∑M=0，M（x2）+17.8kN×（1500mm+x2）-20kN·m=0

解得

FQ（x2）=-17.8kN（1500mm≤x2<3000mm）

M（x2）=-6.7kN·m-17.8kN×x2（1500mm<x2<3000mm）

EF段：由平衡方程

∑Fy=0，-17.8kN+40kN-FQ（x3）=0

∑M=0，M（x3）+17.8kN×（3000mm+x3）-20kN·m-40kN×x3=0

解得

FQ（x3）=22.2kN（3000mm<x3<4500mm）

M（x3）=-33.3kN·m+22.2kN×x3（3000mm≤x3<4500mm）

根据上述剪力方程、弯矩方程及各控制面上的剪力弯矩数值，分段画出函数图形，即可得到最终梁的剪力图与弯矩图。

从图2-13中可以看出，剪力和弯矩的绝对值最大值分别为：

∣FQ∣max=22.2kN，∣Ｍ∣max=33.3kN·m

5.本例讨论

从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为外加集中力与集中力偶的数值，这是由于维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建议读者自行加以验证。