3.5　简单拉压静不定问题

前面几节讨论的问题中，作用在杆件上的外力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问题称为静定问题。

工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其他工程技术要求，常常在静定结构中再附加某些约束（包括添加杆件）。这时，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程无法确定全部未知力。这类问题称为静不定问题。

未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为静不定次数（degree of statically indeterminate problem）。在静定结构上附加的约束称为多余约束（redundant constraint），这种“多余”只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。

在静力学中，由于所涉及的是刚体模型，所以无法求解静不定问题。现在，研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后，通过变形体模型，就可以求解静不定问题。

多余约束使结构由静定变为静不定，问题由静力平衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解静不定问题提供了补充条件。

因此，求解静不定问题时，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形协调关系或变形协调条件（compatibility relations of deformation），进而根据弹性范围内的力和变形之间关系（胡克定律），即物理条件，建立补充方程。总之，求解静不定问题需要综合考察平衡、变形和物理3方面，这是分析静不定问题的基本方法。现举例说明求解静不定问题的一般过程以及静不定结构的特性。

【例题3-5】　图3-15（a）所示为3根直杆组成的简单结构，A、B、C、D四处均为铰链。各杆的拉伸刚度分别为E1A1、E2A2、E3A3，长度为l1、l2、l3，且E2A2=E3A3、l2=l3。桁架受力如图3-15所示。若E1A1、E2A2、l1、l2、FP和α等均为已知，试求：各杆受力。

解：因为A、B、C、D四处均为铰链，故3根杆均为二力杆，设其轴力分别为FN1、FN2、FN3。由图3-15（b）受力图可知，其中有3个力是未知的，而独立的平衡方程只有两个，故为一次静不定结构。

1.平衡方程

根据图3-15（b）所示的受力图，在直角坐标系中汇交力系的平衡方程为

∑Fx=0

∑Fy=0

由此有

FN3sinα-FN2sinα=0

FN1+FN2cosα+FN3cosα-FP=0

整理后得

2.变形协调方程

因为结构左右对称，故受力后点A将沿铅垂方向移至点A′[见图3-15（c）]，各杆变形后的位置如图3-15中虚线所示，以保证各杆变形后仍连接于点A′。于是，3根杆的轴向变形必须满足下列变形协调方程

Δl2=Δl3=Δl1cosα′=Δl1cosα　　（3-14b）

其中，α′=α是应用小变形假定的结果。

3.物性关系方程

根据弹性范围内，各杆的轴力与轴向变形之间的关系，建立物理方程

4.补充方程

将式（3-14c）代入式（3-14b），便得到求解静不定问题的补充方程

5.综合求解

将式（3-14a）与式（3-14d）联立，即可解出

6.本例讨论——关于静不定结构的特性

（1）静不定结构中各构件的受力与各构件的刚度比值有关。上述结果中，EiAi（i=1，2，3）为各杆的刚度。式（3-14e）表明，静不定结构中各杆的受力与各杆线刚度的比值有关。这是静不定结构的一个重要特性。在极端情形下，例如，当中间杆的刚度E1A1→∞时，FN1=FP。这时中间杆变成刚性杆，在载荷作用下FP下不会发生变形，点A因而不产生向下的位移，故两侧的杆也不发生变形，当然其受力为零。当两侧杆的刚度E2A2=E3A3→∞时，FN1=0；同时，应用罗比塔法则，可以确定

这时两侧杆变成刚性杆，点A虽然不产生向下的位移，但二杆仍然受力，并且与外加载荷FP组成平衡力系以满足刚体静力学的平衡条件。

（2）静不定结构中的热应力。静不定结构的第二个特点是由于温度的变化将产生热应力。以图3-16（a）中的结构为例，当中间杆的温度升高T°C时，将发生热膨胀，致使两侧的构件产生伸长变形因而产生拉应力，同时温度升高杆的热膨胀受到两侧杆的限制，因而将产生压应力。这时点A将移至点A′，据此同样可以建立3根杆的变形协调方程，与平衡和物性关系方程一起求得各杆中的热应力。

（3）静不定结构中的装配应力。当静不定结构中的某个构件的几何尺寸与设计尺寸存在误差时，例如，图3-16（b）中的中间杆比装配要求的长度短了Δ时，为了将3根杆装配在一起，必须先将中间杆拉长，装配后点A将移至点A′。从图中不难看出，中间杆将要伸长因而产生拉应力；两侧的构件则由于缩短变形而产生压应力，这种应力称为装配应力，这是静不定结构的又一个特点。应用平衡、变形协调以及物性关系也可以求得各杆中由于制造误差引起的装配应力。