第7章　空间图形

§7.1　平面

7.1.1　平面及其表示法

常见的桌面、墙面、黑板面等，都是平面的形象，然而，它们只是数学中所说的平面的一部分，数学中所说的平面是从具体事物中抽象出来的，可以无限延展的几何元素.通常用平行四边形来表示平面，并在其顶角内部写上希腊字母α、β、γ…来表示.如图7-1（1）、（2）、（3）中的平面α、β、γ有时也用平行四边形顶点字母表示平面，如图7-1（4）中的平面可以记作平面AC或平面ABCD.

画水平放置的平面时，一般把平行四边形的锐角画成45°，把横边的长度画成大约等于邻边长度的两倍，且使横边与水平方向平行.

画竖直放置的平面时，平行四边形一组对边要画成铅垂线.如图7-1（2）、（3）中的平面β.

当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮住部分的线段不画或画成虚线，如图7-1（2）中的平面β和图7-1（3）中的平面γ.

7.1.2　水平放置的平面图形直观图的画法

一般地，把空间图形按照某些规定用画在一个平面内的图形表示，这个平面图形就叫做该空间图形的直观图.下面举例说明平面图形的直观图画法.

【例1】　在平面α内画已知正方形ABCD的直观图.

画法（1）在平面α内画水平线段A1B1，使用A1B1=AB；

（2）作∠B1A1D1=45°且使；

（3）作D1C1∥A1B1且使D1C1=A1B1；

（4）连接B1C1则A1B1C1D1就是正方形ABCD的直观图，如图7-2所示.

【例2】　在平面内作已知正五边形ABCDE的直观图.

画法（1）在正五边形ABCDE内，连接BE，过A作AH⊥CD交BE于O，交CD于H；

（2）在平面α内作水平线段C1D1，且使C1D1=CD；

（3）在C1D1上取H1，使C1H1=CH，作∠A1H1D1=45°且使AH，O1H1=；

（4）过O1作B1E1∥C1D1，且使B1O1=BO，O1E1=OE；

（5）分别连接C1B1、B1A1、A1E1、E1D1，则五边形A1B1C1D1E1就是正五边形ABCDE的直观图，如图7-3所示.

7.1.3　平面的基本性质

公理1　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（见图7-4）.

这时，我们说直线在面内，或者说平面过直线.

公理2　如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这点的一条直线.

例如，教室里相邻的两面墙壁，在墙角处有一个公共点，它们就相交于过这一点的条直线.

公理3　不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面.

也可以说，过不在同一条直线上的任意三点可以作并且只可以作一个平面，例如，平面水准仪的水平面就是利用空间三个点来调试、确定的.

推论1　过一条直线和这条直线外的一个点，可以并且只可以作一个平面（见图7-5（1））

推论2　两条相交直线可以确定一个平面（见图7-5（2））

推论3　两条平行直线可以确定一个平面（见图7-5（3））

空间点、直线和平面的关系，可以用集合符号来表示，我们规定：

（1）点A在直线l上，记作A∈l；

（2）点A在平面α内，记作A∈α；

（3）直线l在平面α内，记l⊆α或α⊇l；

（4）平面α和平面β相交于直线l，记作α∩β=l，平面α和平面β无交点，记作α∩β=φ.

空间几个点或几条直线如果在同一平面内，可以简单地说它们“共面”，否则，就说它们“不共面”.

练习

1.能不能说平面有确定的面积？

2.画三个平行四边形表示空间三个不同的平面，并分别给它们命名.

习题7-1

1.下面的说法正确吗？

（1）线段AB在一个平面内，直线AB不全在这个平面内；

（2）如果一条直线和一个平面有两个公共点，则这条直线在这个平面内；

（3）两个相交平面只有一个公共点；

（4）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合.

2.填空：

（1）_______三点确定一个平面.

（2）两条_______或_______直线确定一个平面.

（3）有一个公共点的两个平面相交于_______的一条直线.

3.画两个相交平面，并且在图中分别注上表示两个平面及交线的字母.

4.（1）已知不相交的四点，每三个确定一个平面问一共能确定多少个平面？

（2）三条直线两两平行，但不共面，通过两条直线的平面一共有多少个？

（3）共点且不共面的三条直线，通过其中两条直线的平面有多少个？

5.试画出下列图形的直观图：

（1）矩形；（2）梯形；（3）正六边形.

6.四条线段依次首尾相接，所得到的封闭图形一定是平面图形吗？