§7.3 空间的直线和平面的位置关系
7.3.1 直线和平面的位置关系
观察教室某条下垂的电灯悬线，它和侧墙没有交点，和顶板只有一个交点.类似地，我们可以有如下的定义：
定义3 如果直线和平面没有公共点，那么称直线和平面平行.
定义4 如果直线和平面只有一个公共点，那么称直线和平面相交.
直线和平面的位置关系有三种：
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
（2）直线和平面相交——只有一个公共点；
（3）直线和平面平行——没有公共点.
画直线和平面平行时，把直线画在表示平面的平行四边形以外，并且使其与平行四边形的一边平行，如图7-10（1）所示.画直线和平面相交时，把直线延伸到表示平面的平行四边形以外，并且把被平面遮住的部分画成虚线[见图7-10（2）]，或者不画出[见图7-10（3）].
图7-10
直线l平行于平面α，记作l∥α；
直线l和平面α相交于点N，记作l∩α=N.
7.3.2 直线和平面平行
定理3 （直线和平面平行的判定定理）如果平面外一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行.
定理4 （直线和平面平行的性质定理）如果一条直线和一个已知平面平行，那么过这条直线的平面与已知平面的交线和这条直线平行.
上面叙述的直线和平面平行的判定定理，可以简记为“线线平行，线面平行”；对于直线和平面平行的性质定理，可以简记为“线面平行，线线平行”.
【例1】 如图7-11所示，E、F分别是空间四边形ABCD两邻边AB、AD的中点，试说明线段EF同平面BCD的关系.
解 因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD.又BD在平面BCD内，由直线和平面平行的判定定理，得EF平行于平面BCD.
图7-11
7.3.3 直线和平面垂直
定义5 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线叫做这个平面的垂线，这个平面叫做这条直线的垂面，垂线和平面的交点叫做垂足（或垂线足）.
直线l和平面α垂直，记作l⊥α.
画直线和平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的一条边互相垂直（见图7-12）.
图7-12
定理5 （直线和平面垂直的判定定理）如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.
要把一根电线杆竖在地上，看它是否垂直于地面，只需从两个不同的角度观察，电线杆与地面上的直线垂直即可.其根据就是这个判定定理.
定理6 （直线和平面垂直的性质定理）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线平行.
推论4 过平面外一点（或平面内一点）有且仅有一条与已知平面垂直的直线
从平面外一点向平面引垂线，这个点到垂足之间的距离叫做点到平面的距离.
【例2】 如图7-13所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1A=a，AB=b，AD=c.求证：
图7-13
（1）A1A⊥底面ABCD；（2）
.
证 （1）因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，所以A1A⊥AB，A1A⊥AD.
又AB和AD是底面ABCD内两条相交直线，由直线和平面垂直的判定定理，得：
A1A⊥底面ABCD
（2）连接AC、A1C，由（1）结论则A1A⊥AC.
在直角△ABC中，
在直角△A1AC中，
7.3.4 直线和平面斜交
1.斜线及其在平面内的射影
定义6 与平面相交但不垂直的直线，叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜线足（或斜足）.从平面外一点向这个平面引垂线和斜线，从这点到垂足间线段的长即点到平面的距离，又叫做从这点到这个平面的垂线长；从这点到斜足间线段的长，叫做从这点到这个平面的斜线长；斜足和垂足之间的线段叫做从这一点到平面所引斜线在这个平面内的射影.
如图7-14所示，AM是平面α的斜线，M是斜足，AC垂直于平面α，C是垂足，AB和AD都是平面α的斜线.线段AC的长是垂线长，线段AB和AD的长是斜线长，BC和DC分别是AB和AD在平面α内的射影.又线段CM是斜线AM在平面α内的射影.
图7-14
定理7 从平面外一点向这个平面引垂线和斜线：
（1）两条斜线的射影相等，斜线长也相等；反之，斜线长相等，射影也相等.
（2）两条斜线，射影较长的斜线也较长；反之，斜线较长，射影也较长.
（3）垂线比任何一条斜线都短.
2.直线和平面所成的角
定义7 如果一条直线和一个平面斜交，那么这条直线和它在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
如果直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果直线和平面平行，我们说它们所成的角为0°.
可以证明，斜线和平面所成的角是斜线与平面内过斜足的任何一条直线所成的角中最小的角.
【例3】 如图7-15所示，8m高的旗杆DA直立于地面上，拉绳DB和地面成60°的角，拉绳DC在地面上的射影AC长为8m.求：
图7-15
（1）拉绳DB的长及其在地面上射影AB的长；
（2）拉绳DC的长及其与地面所成的角.（绳长精确到0.1m）
解因为DA⊥地面（平面α），所以DA⊥AB，DA⊥AC.
（1）在直角三角形BAD中，因为∠DBA=60°，DA=8（m），所以
（2）在直角三角形DAC中，因为
DA=AC
所以∠ACD=45°.
7.3.5 三垂线定理
定理8 （三垂线定理）平面内的一条直线，如果它和一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直.
如图7-16所示，已知AB和AO分别为平面的垂线和斜线，BO为AO在平面内的射影，CD⊆α，BO⊥CD.求征CD⊥AO.
图7-16
证 因为AB⊥α，CD⊆α，所以AB⊥CD.
又CD⊥BO，故CD垂直于两相交直线AB、BO所确定的平面ABO.所以CD⊥AO.
三垂线定理实质上是平面的斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是一个平面内的相交直线，也可以是异面直线.
定理9 （三垂线定理的逆定理）平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直（证明略）.
【例4】 如图7-17所示，l是平面α内的一条直线，AO是平面α的垂线，O是垂足，又AO=12cm，点O到l的距离是5cm，求点A到l的距离.
图7-17
解 在平面α内过O作OB⊥l，交l于B，连接AB.由三垂线定理，得AB⊥l.即AB的长就是点A到l的距离.因为AO⊥α，OB⊆α，所以AO⊥BO.
在直角三角形AOB中
.
即点A到直线l的距离是13cm.
【例5】 如果一个角所在的平面外一点到角两边距离相等，那么这个点在角所在平面内的射影，一定在该角的平分线上.
如图7-18所示，已知∠BAC在平面α内，P是α外一点，PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，PO⊥α，O是垂足，求证∠BAO=∠CAO.
图7-18
证 因为PO⊥α，又OE和OF分别是斜线PE和PF在α内的射影，又PE=PF，所以OE=OF.因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理）.
在Rt△AOE和Rt△AOF中，因为AO=AO，OE=OF，Rt△AOE≌Rt△AOF，所以
∠BAO=∠CAO.
练习
判断题：
1.平行于同一平面的两条直线一定互相平行. （ ）
2.一条直线平行于一个平面，就和这个平面内任意直线平行. （ ）
3.一条直线平行于另一条直线，它就和过另一条直线的所有平面都平行. （ ）
4.一条直线平行于平面内的一条直线，这条直线就和该平面平行. （ ）
5.过平面外一点作平面的平行线，能且只能作一条. （ ）
6.一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线就和该平面垂直. （ ）
7.一条直线垂直于平面内的两条直线，这条直线就和该平面垂直. （ ）
8.一条直线垂直于平面内的无数条直线，这条直线就一定垂直于这个平面. （ ）
9.过平面外一点作平面的垂线，能且只能作一条. （ ）
10.平面内垂直于斜线的直线，就垂直于斜线在这个平面内的射影. （ ）
习题7-3
1.画两个平面相交，且在一个平面内画一条直线和另一个平面平行.
2.已知空间A、B、C三点不共线，且C在直线l上，AC⊥l，BC⊥l，求证AB⊥l.
3.如第3题图所示，P-ABC叫做正四面体，它的四个面PAB、PAC、PBC、ABC都是正三角形.
第3题图
（1）求证：P在平面ABC内的射点O为△ABC的中心；
（2）求证：异面直线PC⊥AB；
（3）求PC和平面ABC所成的角（精确到度）.
4.如第4题图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC.
（1）求证：PC⊥BC；
（2）已知PA=6，PC=8，BC=6，求PB长及点A至PB的距离.
5.如第5题图所示，在长方体中，AB=BC=4cm，AA′=2cm，求
（1）BC与A′C′所成的角；
（2）AA′与BC′所成的角；
（3）A′B′和DC′的距离；
（4）B′C′和CD的距离.
第4题图
第5题图
6.一个等边三角形的边长为3a，从它所在的平面外一点到它的三个顶点的距离都等于2a，求该点到这个平面的距离.