1.3 连续

1.3.1 连续与间断

所谓“函数连续变化”，在直观上来看，它的图像是连续不断的，或者说“可以笔尖不离纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的．

例如，函数①g（x）=x+1，②③，作出它们的图像（见图1-10）．

（1）函数g（x）=x+1在x=1处有定义，图像在对应于自变量x=1的点处是不间断的或者说是连续的．表现在数量上，g（x）在x=1处的极限与函数值相等，即g（1）成立．

（2）函数，在x=1处有定义，图像在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f1（x）在x=1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出，存在却不相等，因此不存在．

（3）函数在x=1处无定义，图像在对应于自变量x=1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f2（x）在x=1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出，虽然存在，但f2（1）却无意义，所以此处没有极限与函数值之间的相等关系．

1. 函数在一点处连续

定义1　如果函数f（x）在x0的某一邻域内有定义，且，就称函数f（x）在x0处连续，称x0为函数f（x）的连续点．

【例1】　研究函数f（x）=x2+1在x=2处的连续性．

解　函数f（x）=x2+1在x=2的某一邻域内有定义，f（2）=5，

因此，函数f（x）=x2+1在x=2处连续．

注意：从定义1可以看出，函数f（x）在x0处连续必须同时满足以下三个条件：

（1）函数f（x）在x0的某一邻域内有定义；

（2）极限存在；

（3）极限值等于函数值，即．

如果函数y=f（x）的自变量x由x0变到x，称差值x－x0为自变量x在x0处的改变量或增量，通常用符号Δx表示，即Δx=x－x0．此时相应的函数值由f（x0）变到f（x），称差值f（x）－f（x0）为函数y=f（x）在点x0处的改变量或增量，记作Δy，即Δy=f（x）－f（x0）．

由于Δx=x－x0，所以x=x0+Δx，因而Δy=f（x）－f（x0）=f（x0+Δx）－f（x0）．

利用增量记号，x→x0等价于Δx=x－x0→0；等价于，又等价于．

定义2　设函数f（x）在x0及其附近有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋于零时，相应的函数增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0）也趋于零，即，则称函数f（x）在x0处连续，称x0为函数f（x）的连续点．

“连续”的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小．

定义3　如果函数y=f（x）在x0及其左边附近有定义，且，则称函数y=f（x）在x0处左连续．如果函数y=f（x）在x0及其右边附近有定义，且，则称函数y=f（x）在x0处右连续．

y=f（x）在x0处连续⇔y=f（x）在x0处既左连续又右连续．

【例2】　讨论函数在处的连续性．

解　；

，，所以．

所以，所以处连续．

2. 连续函数

定义4　如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点处都是连续的，则称函数y=f（x）在开区间（a，b）内连续，或者说y=f（x）是（a，b）内的连续函数．

如果函数y=f（x）在闭区间[a，b]上定义，在开区间（a，b）内连续，且在区间的两个端点x=a与x=b处分别右连续和左连续，即，，则称函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，或者说f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数．函数f（x）在它定义域内的每一点处都连续，则称f（x）为连续函数．

3. 函数的间断点

（1）间断点的概念

如果函数y=f（x）在点x0处不连续，则称f（x）在x0处间断，并称x0为f（x）的间断点．

f（x）在x0处间断有以下三种可能：

①函数f（x）在x0处没有定义；

②f（x）在x0处有定义，但极限不存在；

③f（x）在x0处有定义，极限存在，但．

例如，函数在x=0处无定义，所以x=0是f（x）的间断点；函数f（x）=在x=0处有定义，f（0）=0，但，故（x）不存在，所以x=0是f（x）的间断点；函数在x=1处有定义，f（1）=1，，极限存在但不等于f（1），所以x=1是f（x）的间断点．

（2）间断点的分类

设x0是f（x）的间断点，若f（x）在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f（x）的第一类间断点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等（极限存在），但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．

函数在x=0处间断．因为，所以x=0是的第二类间断点．

【例3】　讨论函数在x=1与x=0处的连续性．

解　（1）因为，而f（1）=0，故，因此x=1是f（x）的连续点．

（2）因为，，故，所以不存在，因此x=0是f（x）的间断点，且是第一类的跳跃间断点．

【例4】　讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型．

解　f（x）在x=0，x=1处间断．

在x=0处，因为，所以x=0是f（x）的第二类间断点；

在x=1处，因为，所以x=1是f（x）的可去间断点．

1.3.2 连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）　闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值．

从几何直观上看，因为闭区间上的连续函数的图像是包括两端点的一条不间断的曲线，因此它必定有最高点P和最低点Q，P与Q的纵坐标正是函数的最大值和最小值，如图1-11所示．

注意：如果函数仅在开区间（a，b）或半闭半开区间（a，b]，[a，b）内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．

例如，（1）函数y=x在开区间（a，b）内是连续的（见图1-12（a）），该函数在开区间（a，b）内既无最大值，又无最小值．

（2）函数在闭区间[0，2]上有间断点x=1（见图1-12（b）），它在闭区间[0，2]上也是既无最大值，又无最小值．

定理2（介值定理）　若f（x）在闭区间[a，b]上连续，m与M分别是f（x）在闭区间[a，b]上的最小值和最大值，u是介于m与M之间的任一实数（m≤u≤M），则在[a，b]上至少存在一点ξ，使得f（ξ）=u（见图1-13）．

介值定理的几何意义：介于两条水平直线y=m与y=M之间的任一直线y=u，与y=f（x）的图像至少有一个交点．

推论（方程实根的存在定理）　若f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在（a，b）内至少有一个根，即至少存在一点ξ，使f（ξ）=0（见图1-14）．

推论的几何意义：一条连续曲线，若其上点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负值，则曲线至少要穿过x轴一次．

使f（x）=0的点称为函数y=f（x）的零点．如果x=ξ是函数f（x）的零点，即f（ξ）=0，那么x=ξ就是方程f（x）=0的一个实根；反之，方程f（x）=0的一个实根x=ξ就是函数f（x）的一个零点．因此，求方程f（x）=0的实根与求函数f（x）的零点是一回事．正因为如此，定理2的推论通常称为方程根的存在定理．

【例5】　证明方程x=cosx在内至少有一个实根．

证　x－cosx=0．令f（x）=x－cosx，，则f（x）在上连续，且f（0）=－1，．

由根的存在定理，在内至少有一点ξ，使f（ξ）=ξ－cosξ=0，即方程x=cosx在内至少有一个实根．