开场话

我在中学三年级学物理的时候，曾经碰过一次物理教员的钉子，现在只要一想到，额上好像都还有余痛。详细的情形已不大记得清楚了，大概是这样的：为了一个什么公式，我不知道它的来源，便很愚笨地向那位教员追问。起初他很和善，虽然已有点儿不大高兴，他说：“你记住好了，怎样来的，说来你这时也不会懂。”在我那时呆板而幼稚的心里，无论如何不承认真有“说来不会懂”这么一回事，仍旧不知趣地这样请求：“先生，说说看吧！”他真懊恼了，这一点我记得非常清楚。他的脸，发一阵红又发一阵青，他气愤愤地，呼吸很急促，手也颤抖了，从桌子上拿起一支粉笔使劲儿地在黑板上写了这样几个字dy/dx（后来我知道这只是记号，不好单看成几个字），眼睛瞪着我，几乎想要将我吞到他的肚子里才甘心似的。“这你懂吗？”我吓得不敢出声，心里暗想“真是不懂”。

从那一次起，我已经被吓得自己只好承认不懂，然而总也不大甘心，常常想从什么书上去找dy/dx这几个奇怪的字看。可惜得很，一直过了三年才遇见它，才算“懂其所懂”地懂了一点。真的，第一次知道它的意义的时候，心里感到无限的喜悦！

不管怎样，马马虎虎，我总算懂了，然而我的年龄也大起来了，我已经踏进了被人追问的领域了！“代数、几何，学过了学些什么呢？”“微积分是怎样的东西呢？”这类问题，常常被比我年纪小的朋友们问到，我总记起我碰钉子时的苦闷，不忍心让他们也在我的面前碰，常常想些似是而非的解说，使他们不全然失望。不过，总觉得这也于心不安，我相信一定可以简单地说明它们的大意，只是我不曾仔细地思索过。最近偶然在书店里看见一本《两小时的数学》（Deux Heures de Mathématique），书名很奇特，便买了下来。翻读一会儿，觉得它能够替我来解答前面的问题，因此就依据它，写成这篇东西，算是了却一桩心愿。我常常这样想，数学和辣椒有些相似，没有吃过的人，初次吃到，免不了要叫、要哭，但真吃惯了，不吃却无法生活下去。不只这样，就是吃到满头大汗，两眼泪流，身体上固然忍受着很大的痛苦，精神上却愈加舒畅。话虽如此，这里却不是真要把这恶辣的东西硬叫许多人流一通大汗，实在没有吃辣椒那么辣。

有一点却得先声明，数学的阶段是很紧严的，只好一步一步地走上去。要跳，那简直是妄想，结果只有跌下来。因此，这里虽然竭力避去繁重的说明，但也是对于曾经学过初等算术、代数、几何，而没有全部忘掉的人说的。因此先来简单地说几句关于算术、代数、几何的话。