第二章 数学的未来

为了预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。

在某种意义上，这不正是我们数学家的专业程序吗？我们习惯于外插法，这是一种从过去和现在推导未来的方法，因为我们充分地了解这相当于什么，所以关于它给予我们的结果的有效范围，我们不会冒使我们自己受骗的危险。

迄今我们已经有了不幸的预言家。他们轻率地重申，所有能够解答的问题都已经被解决了，除了拾遗之外，没有留下什么事情。幸好，过去的情况使我们消除了疑虑。人们往往以为，所有问题都被解决了，或者至少已列出了一切容许的解的清单。可是，解这个词的意义扩大了，不可解的问题变得最使大家感兴趣，未曾料到的其他问题呈现出来。对于希腊人来说，好解就是只使用直尺和圆规的解；后来，它变成用求根法得到的解，接着它又变成只利用代数函数和对数函数的解。这样一来，悲观主义者发现他们自己总是被挫败，总是被迫退却，因此我现在认为不再有悲观主义者了。

所以，我的意图并不是反对他们，因为他们已经消亡了；我充分了解，数学将继续发展，但是问题在于它如何发展，在什么方向发展？你将回答：“在各个方向发展”，这部分为真；如果它完全为真，那可有点骇人听闻了。我们的丰富资料不久便会成为拖累，资料的积累也会造成一堆费解的大杂烩，犹如无知的人面对未知的真理那样莫名其妙。

历史学家、物理学家甚至都必须在事实中做出选择；科学家的头脑只能顾及宇宙之一隅，永远也不能囊括整个宇宙；以致在自然界提供的不可胜数的事实中，一些将被忽略，另一些则被保留下来。

不用说，在数学中正是这样；几何学家已不再能迅速地把握所有呈现在他面前的杂乱的事实；更有甚者，因为正是他——我几乎要说他的任性——创造这些事实。他把它的要素收集在一起构造全新的组合；一般说来，自然并没有把预先准备好的组合给予他。

毫无疑义，有时会发生这种情况：数学家着手解决问题是为了满足物理学的需要；物理学家或工程师请求他计算某些应用方面的数值。难道能够说，我们几何学家应当仅限于听候命令，而不为我们自己的欢娱来培育科学，只是力图使我们自己迁就我们恩主的需求吗？假如数学除了帮助那些研究自然的人之外没有其他目标，那我们就只好听候命令了。这种看问题的方式合理吗？这绝不合理；如果我们不为科学而培育精密科学，那我们就既不可能创造出数学工具，待到物理学家提出请求的那一天，我们就会无能为力。

物理学家研究一种现象，也不是要等到物质生活的某种急迫需要使它成为他们必不可少的东西；他们是对的。假使18世纪的科学家因为电在他们的眼中只是好奇的玩意儿而没有实际利益，因此忽略电的研究，那么在20世纪，我们就既不可能有电报，也不可能有电化学或电技术。所以，不得不进行选择的物理学家并没有仅仅以功利来指导他们的选择。可是，他们怎样在自然事实之间选择呢？我们在上一章已作了说明：使他们感兴趣的事实是能够导致发现规律的事实，这些事实因而类似于许多其他在我们看来似乎不是孤立的、而是与另外的东西紧密聚集在一起的事实。孤立的事实吸引着大家的眼睛，吸引着外行人的眼睛和科学家的眼睛。但是，唯有名副其实的物理学家才知道如何观察，把其类似是深刻的但却是隐蔽的许多事实结合起来的结合物是什么。牛顿（Newton）的苹果故事恐怕不是真实的，而是象征性的；不过，让我们把它当做真实的谈一谈吧。好啦，我们必须认为，在牛顿之前，好多人都看见过苹果落地；没有一个人知道从中如何得出任何结论。假如没有能够在事实中选择、分辨在哪些事实背后隐藏某种东西，以及识别什么正在隐藏着的精神，假如没有在未加工的事实下察觉事实精髓的精神，事实也许是毫无成果的。

我们在数学中正好发现同样的东西。从我们正在处理的各种各样的要素中，我们能够得到无数个不同的组合；但是，这些组合中的一个倘若是孤立的，则其毫无价值可信。我们常常含辛茹苦地构造它，但是它却没有效用，也许至多不过是为初等教育提供练习而已。当这个组合在一组类似的组合中找到了位置时，当我们注意到这种类似时，它就完全是另外一个样子了。我们就不再是面对一个事实，而是面对一个定律。在那一天，真正的发现者将不是耐心地建造某些组合的工匠；真正的发现者将是揭示它们的亲缘关系的人。前者看到的只是未加工的事实，只有后者才能察觉到事实的精髓。往往为了确定这种亲缘关系，足以使他构思出新名词，这个名词是有创造力的。科学史向我们提供了大量的大家熟知的例子。

著名的维也纳哲学家马赫曾经说过，科学的作用在于产生思维经济，正像机器产生劳力经济一样。这是十分正确的。原始人用他的手指或借助卵石来计算。在给儿童教乘法表时，我们使他们以后节省了用无数堆卵石进行计算的辛劳。某人已经发现，用卵石或其他东西计算，6乘7等于42，他特意把这个结果记录下来，因此我们不需要重复它了。他没有白费他的时间，即使他是为消遣而计算的：他的运算只花了两分钟；如果10亿个人在他之后重复作这个运算，那总共就要花费20亿分钟时间。

于是，事实的重要性用它产生的效益来衡量，也就是说，用它容许我们节省的思维数量来衡量。

在物理学中，具有最大效益的事实是进入十分普遍的定律中的事实，由于这些事实能够使我们根据定律预见大量的其他事实，在数学中情况正是如此。设想我从事一项复杂的运算，费力地达到了一个结果：如果我由此还不能预见其他类似运算的结果，还不能可靠地指导运算以避免人们在首次尝试中必须屈从的摸索，那么我就没有补偿我的辛劳。另一方面，如果这些摸索本身最终向我揭示出刚刚处理的问题深刻类似于更为广泛一类的其他问题，如果它们一举向我表明这些问题的相似和差异，一句话，如果它们使我察觉到概括的可能性，那么我就没有白费我的时间。因此，这不是我已经赢得的一个新结果，而是一种新的能力。

首先想到的简单例子是代数公式的例子，当我们最后用数字代替字母时，这些公式便把一种类型的数值问题的答案给予我们。多亏它，一次代数运算就使我们省去不断重新开始新的数值计算的辛苦。但是，这只是一个粗糙的例子；我们大家都知道，还有不能用公式表示的、更为珍贵的类似性。

既然在把早就已知的而迄今依然分离的、似乎相互陌生的要素统一起来时，新结果突然在表面上由无序统治的地方引入秩序，那么它就是有价值的。于是，它容许我们一眼看到这些要素中的每一个以及它在集合中的位置。这个新事实不仅仅因其自身而珍贵，而且唯有它才能使它所结合的一切旧事实具有价值。我们的心智像我们的感官一样，也是软弱的；如果世界的复杂性不是和谐的，它就会在这种复杂性中迷失；它像一个眼睛近视的人一样，只能看到细微末节，在审查下一个枝节前，它又会被迫忘掉先前的每一个细节，由于它不能囊括整体。唯一值得我们注意的事实是那些把秩序引入到这种复杂性中去的事实，从而是使它可以理解的事实。

数学家把重大的意义与他们的方法和他们的结果的雅致联系起来。这不是纯粹的浅薄涉猎。在解中、在证明中给我们以雅致感的实际上是什么呢？它是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡；一句话，它是所有引入秩序的东西，是所有给出统一、容许我们清楚地观察和一举理解整体和细节的东西。可是，这正好就是产生重大结果的东西；事实上，我们越是清楚地、越是一目了然地观察这个集合，我们就越是彻底地察觉到它与其他邻近对象的类似性，从而我们就有更多的机会推测可能的概括。在意外地遇见我们通常没有汇集到一起的对象时，雅致可以产生未曾料到的感觉；在这里，它再次是富有成果的，因为它这样便向我们揭示出以前没有辨认出的亲缘关系。甚至当它仅仅起因于方法的简单性和提出的问题的复杂性之间的强烈对照时，它也是富有成效的；于是，它促使我们想起这种悬殊差别的理由，而且每每促使我们看到，偶然性并不是理由；它必定能在某个意想不到的定律中找到。简言之，数学雅致感仅仅是由于解适应于我们心智的需要而引起的满足，这个解之所以能够成为我们的工具，正是因为这种适应。因此，这种审美的满足与思维经济密切相关。我又一次想到厄瑞克忒翁庙的雅致的女像柱的比喻，但是我没有必要过于经常地利用它。

正是由于同样的理由，当相当冗长的运算导致出某一简单的引人注目的结果时，只要我们还未证明，我们即使不能预见完整的结果，至少应该能够预见它的大多数特性，那我们就不会心满意足。为什么呢？这个运算似乎把我们想要知道的一切都告诉给我们，究竟是什么东西妨碍我们以此为满足呢？这是因为，在类似的情况中，冗长的运算不可能再起作用了，而关于能使我们预见的推理——它常常有一半是直觉的——却不是这样。由于这种推理简短，我们一瞥即见它的所有部分，以致我们即时地觉察到，为了使它适应于能够出现的同一本性的问题，我们必须改变什么。于是，它能够使我们预见这些问题的解是否将是简单的，它至少能够向我们表明是否值得从事这一运算。

我们刚才所说的一切足以表明，企图用任何机械程序代替数学家的自由的首创精神，将是多么愚蠢啊。为了得到具有真正价值的结果，刻苦地进行运算，或者拥有整理事物的机械，都是不够的；值得花时间追求的不只是秩序，而是未曾料到的秩序。机械可以啮噬未加工的事实，而事实的精髓将总是逃脱它。

自19世纪中期以来，数学家越来越想望得到绝对的严格性；他们是对的，这种倾向将越来越受到强调。在数学中，严格性不是一切，但是没有它便没有一切。不是严格的证明微不足道。我想没有人辩驳这个真理。但是，如果过分照字面来理解严格性，我们可能会被诱使得出结论，例如在1820年之前还不存在数学；这显然是过分了；当时的几何学家自愿地理解了我们现在用冗长的论述说明的东西。这并不意味着他们根本没有看到严格性；而是他们太迅速地越过它，要明确地领会它，就必须耐心把它讲一讲。

但是，总是需要这么多的次数来讲它；在所有其他人之前第一个强调精密性的人，把我们可以力图仿效的论据给予我们；可是，如果将来的证明都建立在这个模型的基础上，那么数学论文就会十分冗长；我担心长起来，不仅因为我不赞成书刊塞满图书馆，而且因为我担心这样冗长下去，我们的证明就可能失去和谐的外观，我刚才已说明了和谐的有用性。

思维经济是我们应该对准的目标，因此提供仿效的模型还是不够的。需要使我们之后的人能够省却这些模型，不去重复已经做出的论据，而用几句话概括它。而且，这一点有时已经达到了。例如，有一种到处都可找到的而且处处相似的推理模式。它们是完全精密的，但却颇为冗长。于是，“收敛的一致性”这个用语突然被想到，这个用语使这些论据变得不需要了；我们不再必须重复它们了，由于它们可以被理解。这样一来，那些克服困难的人就给我们双重的帮助：他们首先告诉我们在紧急时像他们那样去做，但是尤其是，他们能够使我们在不牺牲精密性的条件下，尽可能经常地避免像他们那样去做。

我们刚才通过一个例子已经看到名词在数学中的重要性，不过还可以引用许多其他例子。人们很难相信，正如马赫所说，一个精选的名词就能使思维有多么经济。也许我在某处已经说过，数学是把同一名称给予不同事物的艺术。可以说，把这些在内容上不同而在形式上有可能相似的事物纳入同一模式中是恰当的。当选好语言时，我们不胜惊讶地发现，对某一对象所作的论证可直接用于许多新对象；这里什么也没有改变，甚至连名词也没有改，由于名称已变成相同的了。

一个精选的名词通常足以消除用旧方式陈述的法则所遭受的例外；这就是为什么我们创造了负数、虚数、无穷远点等等。我们一定不要忘记，例外是有害的，因为它掩盖着定律。

好了，这是我们用以辨认产生巨大结果的事实的特征之一。多产的事实是容许这些巧妙的语言革新的事实。再者，未加工的事实往往没有多大兴趣；我们可以多次指出它，但对科学并没有提供多大帮助。只有当比较有见地的思想家觉察到它所代表的关系，并用名词把它符号化时，它才会获得价值。

此外，物理学家的做法正好相同。他们发明了“能”这个词，这个词格外富有成效，因为它通过消除例外而创造了定律，由于它把同一名称给予内容不同而形式相似的事物。

在具有最幸运的影响的名词中，我可以挑选出“群”和“不变量”。它们使我们看到许多数学推理的实质；它们向我们表明，在多少情况下，以往的数学家是在不明其义的情况下考虑群的，他们是怎样突然地发现它们不知何故这么接近，他们原以为它们彼此相距甚远呢。

今天，我们可以说，他们处理的是同构群。我们现在知道，在一个群中，内容几乎没有什么兴趣，唯有形式才有考虑的价值；当我们了解一个群时，我们从而也就了解所有的同构群；由于“群”和“同构”这些名词把这个微妙的法则浓缩在几个符号内，并使所有的心智迅速地通晓它，因此转变是即时的，能够以充分的思维经济努力完成。此外，群的观念归属于变换的观念。我们为什么要把这样的价值放在新变换的发明上呢？因为从一个定理，能使我们得到10个或20个定理；这与在紧靠整数的右边加一个零具有同样的价值。

于是，这就是迄今决定数学进展方向的东西，将来肯定还将同样地决定它。可是，所提出的问题的性质同样有助于这个目标。我们不能忘记，我们的目的应当是什么。按照我的观点，这个目的是双重的。我们的科学与哲学和物理学二者相毗邻，我们为我们的两个邻居而工作；因此，我们总是看到，而且还将继续看到，数学家在两个相反的方向上前进。

另一方面，数学科学必须反思自身；由于反思自身就是反省创造它的人类心智，因而它是有用的；因为它真正是人类心智从外界所借取的东西最少的创造物之一，所以它就更加有用了。这就是为什么某些数学推测是有用的，例如专门研究公设、非寻常几何、特殊函数的推测。这些推测距通常的概念以及距自然界和应用愈远，它们就愈加充分地向我们表明，当人类心智越来越多地摆脱外部世界的羁绊时，它能够创造出什么东西，因此它们就愈加充分地让我们在本质上了解人类心智。

但是，我们必须指挥我们的主力部队向其他方面前进，即向自然界方面前进。在这里，我们遇到了物理学家和工程师，他们对我们说：“请给我积分这个微分方程吧；我可能在一周后需要它，由于到那时我要完成一项建筑图。”我们回答说：“这个方程不能归入可积类型之一；你也知道可以积分的方程并不多。”“是的，我知道；但是到那时你有什么作用呢？”通常相互谅解也就够了；工程师实际上不需要无限项的积分；他需要知道积分函数总的概貌，或者他只要求实际上能够从这个积分推演出来的某一个数，倘若这个积分已知的话。通常它不是已知的，但是没有它我们也能计算出这个数，只要我们确切地知道工程师需要什么数以及要达到什么近似程度就可以了。

从前，只有当一个方程的解能够借助于有限数目的已知函数表示时，人们才认为解了方程；但是，这种可能性百中难得其一。我们经常能够做的，或者恰当地讲，我们应该经常力图去做的，可以说是定性地解决问题；也就是说，力图去了解表示未知函数的曲线的一般形状。

依然要寻找问题的定量的解；可是，如果未知数不能用有限的运算决定，那么它总是可以用能使我们计算它的无限收敛级数来表示。能够认为这是它的真实解吗？我们听说，牛顿曾给莱布尼兹（Leibnitz）寄了一个字谜，其内容大致是aaaaabbbeeeeii等。莱布尼兹当然一点也不理解它；但是，我们掌握这个字谜的秘诀，了解它的意思，把它译成现代词语就是：“我能够积分一切微分方程”；而我们却被诱使说，牛顿要不就是十分幸运，要不就是有奇怪的错觉。牛顿只是想说，他能够形成（用未定系数法）一个形式上满足所提出的方程的幂级数。

这样的解今天不会使我们满意，其理由有二：因为收敛太慢，因为相互紧随的项不服从任何规律。相反地，Θ级数在我们看来好像是完美无缺的，首先因为它收敛很快（这有利于希望尽可能快地得到一个数的实际人），其次因为我们一瞥即见项的规律（这可以满足理论家的审美需示）。

但是，这样一来，就不再有已解的问题和未解的问题；有的只是或多或少已被解决的问题，或者它们可以通过程度不同的迅速收敛的级数来解，或者它们由程度不同的和谐的定律来支配。不过，往往发生这种情况：不完美的解把我们引向比较完美的解。有时，级数收敛过慢，以致计算无法实际进行，我们仅仅得以证明问题的可能性。

于是，这位工程师觉得这是一种嘲弄，这恰恰由于它没有帮助他在规定的日期完成他的建筑图。他不想了解，它是否将会有益于22世纪的工程师们。但是，至于我们，我们却不这么认为，能为我们后代省却一天工作，有时也比为我们同代人节约一个小时更为使我们感到幸福。

可以说，有时通过在经验上摸索，我们达到一个充分收敛的公式。工程师说：“你们还需要什么？”可是，不管怎样，我们仍不满足；我们希望预见那个收敛。为什么？因为只要我们一次知道怎样预见它，我们就会知道下一次如何预见它。我们成功了；如果我们不能再次有效地预期这样做，那么成功在我们看来也不过是小事一桩而已。

随着科学的发展，对它做整体的理解也变得更加困难；于是，我们企图把它分割成小块，而满足于这些小块之一：换句话说，企图使它专门化。如果我们在这条道路上继续走下去，那就会为科学的进步设置严重的障碍。正如我们所说，科学进步正是由于它的各部分之间未曾料到的结合引起的。过分专门化便会妨碍这些结合。希望像海德堡会议和罗马会议这样的会议，通过使我们彼此之间接触，将向我们打开邻近领域的视野，促使我们把邻近领域与我们自己的领域加以比较，以便探寻我们自己的小群落之外的东西；因此，它们将是对刚才所提到的危险的最好补救办法。

然而，我在概括上拖延的时间太长了；现在是逐一详述的时候了。

让我们分别审查一下各门特殊学科，它们联合起来构成了数学；让我们看看，每门学科完成了什么，它向哪里发展，我们对它可以有什么希望。如果原先的观点是正确的，那么我们就会看到，过去的最大进展发生在这些学科中的两个结合之时，发生在我们开始意识到它们形式的类似性而不管它们内容的差别之时，发生在它们相互之间如此模仿以致一个获胜而另一个也会受益之时。与此同时，我们可以在同类的结合中预见未来的进步。

算术

与代数和分析相比，算术的进步慢得多，容易看到其中的原因。连续性的感觉是一种宝贵的指导，但是算术家却缺少它；每一个整数都与其他整数相分离——也就是说它具有自己的独立存在性。它们中的每一个都是一种例外，这就是在数论中普遍定理比较稀少的原因；这也是存在的定理隐藏得比较多，而且比较长期地使研究人员为难的原因。

如果说算术落后于代数和分析，为此最有效的做法是，力图使算术仿效这两门学科，以便从它们的进展中获得好处。因此，算术家应当把与代数的类似作为指导。这些类似是大量的，在许多情况中，即使还没有充分仔细地研究它们是否可以利用，但至少长期以来已预见到它们，甚至这两门学科的语言表明，人们已清楚地认识它们。我们这样谈论超越数，我们这样阐明超越数的未来分类，已经让超越函数的分类作为模型，我们迄今还没有十分明确地看到如何从一种分类过渡到另一种分类；但是，假如人们已认识到它，那么它已经被完成了，它已不再是将来的工作了。

我想起的第一个例子是同余理论，在其中可以找到与代数方程理论完全的平行性。的确，我们将会成功地完成这种平行性，例如这种平行性必须在代数曲线理论和两个变量的同余理论之间成立。而且，当要解决与几个变量的同余有关的问题时，这将是通向解决许多不定分析问题的第一步。

代数

代数方程理论还将长期地引起几何学家的注意，人们可以着手研究的方面是很多的、很不同的。

我们无须认为代数走到了尽头，因为它给我们以形成所有可能组合的规则；依然要寻找满足某种条件的有趣的组合。这样一来将形成一种不定分析，其中的未知数将不再是整数，而是多项式。这时，代数本身将仿效算术，以致整数与具有任意系数的整多项式或具有整系数的整多项式可以类比。

几何学

看起来，好像几何学包含的无非是在代数或分析中已经包括的东西；几何学事实只不过是用另一种语言表达的代数事实或分析事实。因此，可以认为，在我们考察之后，没有多少特别与几何学有关的东西供我们谈论了。这也许是没有明确认识到精心构造的语言的重要性，不理解借助于表示这些事物的方法以及分类它们的方法把什么添加到事物本身之中。

首先，几何学的考虑导致我们向我们自己提出新问题；如果你乐意的话，这些问题可以是解析问题，但是在解析方面，我们向我们自己永远也提不出这样的问题。不过，解析因这些问题受益，正如它因为了满足物理学的需要而必须解决的问题受益一样。

几何学的巨大优点在于下述事实：在其中感官能够帮助思维，有助于发现前进的道路，许多心智都偏爱把解析问题化为几何学形式。不幸的是，我们的感官不能把我们带得很远，当我们想超越经典的三维时，感官就舍弃我们。这难道意味着，超过感官似乎希望把我们束缚于其内的有限领域，我们只能依靠纯粹解析，所有大于三维的几何学都是徒劳的和无目的的吗？前一辈的大师们可能回答“是”；今天，我们如此熟悉这个概念，以致我们甚至能在大学课程中谈及它了，而不会引起过多的惊讶。

但是，它有什么用处呢？这很容易看到：首先，它给我们以十分方便的术语，这种术语简洁地表达了通常解析语言用冗长的用语才能讲清的东西。而且，这种语言使我们用同一名称称谓相似的事物，使我们突出类似性，让我们永远不再忘记它。因此，这种语言还能使我们在对我们来说太重要的而我们却无法看见的空间中找到我们的道路，这种空间使我们总是回想起视觉空间，视觉空间无疑只是它的不完善的图像，但不管怎样总是一种图像。与前面所有的例子一样，这里又一次出现了与简单事物的类似性，这使我们能够理解复杂事物。

这种大于三维的几何学不是简单的解析几何学；它不是纯粹定量的，而是定性的，正是在这方面，它变得尤其有趣。有一种学科叫拓扑学，它把研究图形的不同要素的位置关系作为它的对象，而不管各要素的大小。这种几何学是纯粹定性的；即使图形不是精密的，是孩子粗略地摹拟的，其定理却依然为真。我们也可以创造出大于三维的拓扑学。拓扑学的重要性是巨大的，但也不能强调得太过分了；拓扑学的主要创始人之一黎曼（Riemann）从中得到的好处足以证明这一点。我们必须得到它在多维空间中的完备结构；我们因而将有一种工具，能使我们实际上能在多维空间内观察，以弥补我们的感官。

假如只讲解析语言，那么拓扑学问题也许还不会提出；或者确切地讲，我弄错了，这些问题确实出现了，由于它们的解答对于一大堆解析问题是必不可少的，但是它们是一个接一个地单独来到的，我们未能察觉到它们共同的结合物。

康托尔主义

上面我已经说过，我们需要继续回到数学的第一原理，还说过这对于研究人类心智有什么好处。这种需要唤起了两种努力，它们在最近的数学编年史上占据了十分突出的位置。第一种是康托尔主义，它对数学提供了显著的帮助。康托尔（Cantor）把一种新的考虑数学无穷的方法引入科学。康托尔主义的特征之一在于，它不是通过建立越来越复杂的构造上升到一般，不是通过构造来定义的，正如学究们所说的，它从最高类出发，只通过最近类和种差来定义。它有时在某些心智上引起的极端厌恶便由此而来，例如埃尔米特（Hermite）即是其中之一，他特别偏爱的观念就是把数学科学和自然科学加以对照。就我们大多数人而言，这些偏见已经烟消云散了，但是却出现了这样的情况：我们意外地碰到了某些悖论，即某些表面上的矛盾，它们会使爱利亚人芝诺（Zeno the Eleatic）和迈加拉学派（the school of Megara） ^[2] 感到高兴。因此，每一个人都必须寻求补救办法。就我个人——不仅仅是我一个人——而言，我认为，重要的事情永远是引入能用有限的词完备定义的实体。不管采纳什么治疗方案，我们都可以指望像请来的医生那样高兴，因为他是仿效绝妙的病理学方面的案例来诊治的。

公设的探讨

另一方面，人们曾努力列举或多或少隐藏的公理和公设，把它们作为各种不同的数学理论的基础。希尔伯特（Hilbert）教授获得了最辉煌的成果。乍看起来，这个领域似乎是很有限的，当花不了多长时间把目录编好后，就不会有什么事可做了。但是，当我们清点了所有的东西后，就将有多种分类这一切的方法；一个健全的图书馆总可以找到某些要做的事情，每一种新分类法都会对哲学家有所启发。

在这里，我要结束这一考察了，我不会梦想使考察完善。我认为，这些例子将足以表明，数学科学通过什么机制在过去取得了进步，它们将来必须在什么方向上进展。

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[1] 这一学派为古希腊诡辩论哲学家欧克莱得斯（约公元前450—前380）所创，因其出生地迈加拉（墨伽拉）而得名，它对斯多葛学派有影响。——中译者注