命题VI 定理V

如果一个物体在一无阻力的空间围绕一个不动的中心在任意的轨道上运行，并在极短的时间画出任意一条刚要消失的弧，并且如果所引的弧的矢被理解为它平分弦且延长时穿过力的中心：在弧中间的向心力与矢成正比且与二次时间成反比。

因为在一给定时间的矢如同力（由命题I系理4），且按任意的比增大时间，由于弧按同样的比增大，矢按照那个比的二次方被增大（由引理XI系理2和系理3），因此如同一次力和二次时间。从两边除去时间的二次比，力变为如同矢的正比和二次时间的反比，此即所证。

此命题易于由引理X的系理4证明。

系理1 如果物体P围绕中心S运行画出曲线APQ；直线ZPR切那条曲线于任意点P，从曲线上另一任意点Q引QR平行于距离SP，并向那个距离SP落下垂线QT：向心力与立体 成反比；只要那个立体总取作当点P与Q重合时的最终的度量。因为QR等于中点在P二倍于弧QP的［一段弧的］矢，且三角形SQP的二倍或者SP×QT与一段时间成比例，在此期间二倍的那个弧被画出，且因此能代替时间。

系理2 由同样的论证，向心力与立体 成反比，只要SY是从力的中心落到轨道的切线PR上的垂线。因为矩形SY×QP与SP×QT相等。

系理3 如果轨道或者为圆形，或者与一圆同心相切，或者同心相截，亦即，［轨道］与圆所含的切角或者交角为最小，在点P有同样的曲率及同样的曲率半径；且如果PV为由物体过力的中心所作成的这个圆的弦：向心力与立体SY_q×PV成反比。因为PV即是 。

系理4 对同样的题设，向心力与二次速度成正比，且与那条弦成反比。因为由命题I系理1，速度与垂线SY成反比。

系理5 因此，如果任意曲线图形APQ被给定，且在其上也给

定一点S，向心力持续指向它，能发现向心力的定律，由它任意物体P不断地被拉离直线路径，并被保持在那个图形的周线上，且在运行时也画出它［作为轨道］。于是需计算与这个力成反比的立体 或者立体SY_q×PV。在下面的问题中，我们给出这类例子。