为了推断的推理注24
在第三辑，我们讨论了数学证明过程中的推理，即演绎推理。回忆第三辑绪论中关于演绎推理的定义：从假设和定义出发，按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。正因为演绎推理是一种结果必然的推理，因此所有严格的数学证明采用的都是这种推理模式。其中，“按照某些规定了的法则”所进行的推理，意味着演绎推理是由一般到特殊的推理；“前提与结论之间有必然联系”的推理，意味着演绎推理要求前提和结论必须是事先知道的。可是，在我们的日常生活和生产实践中，人们常常关心的问题是：如何从前提出发预测可能得到的结果，或者，如何从已经得到的结果出发探究结果形成的原因。显然，希望“预测”或者“探究”的那些东西并不是事先确切知道的，因此，在“预测”或者“探究”的过程中是无法借助演绎推理的。为了研究问题的方便，我们统称预测和探究为推断。不言而喻，人们是通过推断得到新知识的，也是通过推断得到新理论的，因此，推断是人们认识自然的根本思维方式，或者说，推断是人们得以创造的根本思维方式。
在这一辑，我们将从数学的角度讨论推断所依赖的推理模式，虽然这种推理不能成为严格的数学证明，但这种推理依然是具有逻辑性的注25，我们称这种推理模式为归纳推理。可以描述归纳推理的定义：从经验和概念出发，按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较演绎推理的定义可以看到，归纳推理与演绎推理的出发点是根本不同的。特别是，归纳推理比演绎推理要灵活得多，这是因为：在推理过程中，“概念”是必要的，但不需要抽象为严格的定义；“法则”是必要的，但不需要确立为严格的规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系是可以是或然的。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物（事情和实物）的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。
虽然归纳推理是一种“前提与结论之间有或然联系”的推理，但就结论而言，又可以分为两种情况：一种情况是结论的成立本身可能是必然的；一种情况是结论的成立本身已知是或然的。在这本书中，关于归纳推理的任何一个话题，我们都将分别讨论这两种情况。可以看到，前一种情况的必然性恰恰是需要通过演绎推理给予证明的，因而恰恰是纯粹数学所需要的。对于后一种情况，虽然通过推断得到的结论是或然的，但却是实用的，因为在日常生活和生产实践中，人们对事情决策所遵循的原则并不要求必然成立，只是希望在大多数情况下成立。比如，人们在决策的过程中可以不顾及或然率很小的情况：人们不会因为有地震而不建高楼，也不会因为有交通事故而不购买汽车。因此，后一种情况的研究已经成为现代数学的重要内容，包括概率论、统计学、随机分析等等。
对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了数学的推理的全部过程；从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性；或者，进行一个相反的推理过程：从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。
在进入正文之前，我们简洁地讨论一个重大的哲学问题，我相信，讨论这个问题对于理解归纳推理是有好处的。这个问题就是：上述的数学推理过程本身是不是必然的？也就是说，如果让人类再一次开始演变的历史，那么，所形成的数学推理过程是否会与上面述说的是一样的呢？我想给出的结论是：借助归纳推理进行推断的过程是必然的，而借助演绎推理进行验证这个过程不一定是必然的。在这里，我并没有要否定演绎推理的意思，恰恰相反，我们应当非常珍惜这个“难得”的推理模式。我想，或许正是因为这个“难得”，人们就认为演绎推理是数学的根本特征，于是在数学的整个教育过程中都非常强调演绎推理，并且很大程度上忽略了归纳推理。但是，我们不应当忘记归纳推理是一种“自然”的推理模式，是一种“创新”所要依赖的推理模式，因此在数学教育的过程中，无论从时间上还是从内容上都应当对归纳推理给予足够的重视，应当让学生在学习的过程中，逐渐感悟出这种推理模式的“自然”属性。在这本书中，我们将详细地讨论这个问题。
之所以得到上述结论，第一个论据是基于事实的，因为在这个地球上，原发性地创造了文字的最古老的三大文明，即两河流域文明、尼罗河文明和黄河文明，均没有在他们的思维过程中表现出演绎推理，并且可以设想，如果没有后来的文化交流，这些文明的延续也很可能不会自发地产生演绎推理。在希腊人入侵埃及之前，尼罗河文明即古埃及文明延续了三千多年，在这漫长的岁月中并没有形成演绎推理的思维模式。上述三大文明中只有黄河文明延续下来了，这便是现在中国这方土地上逐渐形成的中华文明，但追溯到明末清初欧几里得的《几何原本》传入之前，在中华文明漫长的演变过程中并没有形成演绎推理的思维模式，或者说，中国古代的哲人对演绎推理的思维模式不感兴趣，关于这个问题的详细讨论可以参见第三辑的附录。
再比如，我们曾经在第二辑的最后一讲详细地讨论了西方的名实之争，问题的核心是，我们得以抽象的那些数学概念本身是如何存在的。有一种说法认为，这些概念是客观存在的，人们通过某种方式发现或者认识了这些概念，因此，这些概念是永恒的存在，是实体；还有一种说法认为，这些概念原本是没有的，是人为地创造出来的，因此，这些概念只是名而已，不是实体。前者便是所谓的“唯实论”，后者便是所谓的“唯名论”。这两派的争论是从古希腊的学者柏拉图和亚里士多德开始的，一直延续至今。纵观几千年的西方哲学史，我们似乎可以认定，起源于古希腊的名实之争构建了演绎推理的逻辑基础，也就是说，没有柏拉图和亚里士多德开始的这场争论，就不会有如此规范的演绎推理。但是，在中国的认识论中，根本就没有关于这个命题的讨论。公孙龙子的《指物论》叙述了中国先秦时代关于概念的认识。那篇文章中明确谈到：抽象的名是不存在的，存在的是具体的物，名是基于物抽象出来的。在那篇文章中明确地反问到：人们发现了一个新的事物，怎么能同时知道这个事物的名称呢？而不知道名称人们又如何能够讨论这个事物呢？因此，这个事物的名称是由人命名的注26。
之所以得到上述结论，第二个论据是基于必要性。所谓的必要性，就是考察人们为了发现自然的规律，或发现来源于自然的知识，这种推理模式是否是必须的。亚里士多德是演绎推理的集大成者，回顾在第三辑曾经讨论过的、亚里士多德给出的演绎推理的经典句式：
凡人都有死。
苏格拉底是人。
所以，苏格拉底有死。
对于发现知识而言，这个句式的推理是一点意义都没有的。这个推理模式至多可以在生前判断苏格拉底有死，但亚里士多德在写这个句式的时候，苏格拉底已经死了。事实上，判断“苏格拉底有死”要比判断“所有人有死”容易得多，因此，正常的推理模式应当是从每一个具体的“苏格拉底有死”推断“所有人有死”。可以写出推理模式：
苏格拉底是人，苏格拉底有死。
柏拉图是人，柏拉图有死。
亚里士多德是人，亚里士多德有死。
……
所以，凡人都有死。
这样，我们得到了一个新的知识：凡人都有死。可以看到，这种句式的流程与演绎推理的经典句式的流程是完全相反的，这是一种从具体到一般的推理模式。为了讨论问题的方便，我们称这个句式为归纳推理的经典句式。
对于上面的两种句式分析可以看到，演绎推理是基于“理念”的推理，归纳推理是基于“事实”的推理；由此，进一步可以知道，演绎推理是追求“形式”的推理，归纳推理是追求“实用”的推理。关于演绎推理是基于“理念”的、是追求“形式”的说法似乎有些武断，事实上，这个说法恰恰是形成演绎推理这种思维模式的初衷，正如亚里士多德在《形而上学》中所谈到的注27：
另外，为知而知的知识，属于更可通晓的知识，因为想以学为唯一目的的人会选择最完善的知识，即最可通晓的知识。…… 因此，这种知识从一开始就不是为了创造些什么，…… 很显然，他们是为了知而求知，并不以实用为目的。可以说，只有在生活必需的那些东西有了保障的时候，人们才开始寻求这种知识。我们追求这种知识并不是为了得到些什么别的好处。正如我们称一个为自己而不为他人存在的人为自由人一样，它是唯一的一门自由的学问，因为它只是为了它自己而存在。
亚里士多德说的非常确切，人们只有在衣食无忧的情况下，才可能静下心来观察、思考、推断那些完全为了知而知的知识。关于这一点，几乎同时期的中国古代的哲人们并没有那么好的条件。春秋战国时期，中国大地上征伐不断、民不聊生，因此，中国古代的哲人更关心的是人世间的事情，关心的是如何做人的知识，关心的是如何管理国家的知识，或许这就是中国古代没有出现演绎推理的主要原因。事实上，即便是在衣食无忧的情况下，人们也不一定必然地去探求那些完全为了知而知的知识，因为人们在这种知识中不一定能够直接得到效益，正如现代分析逻辑的奠基人、德国逻辑学家弗雷格所说注28：
逻辑规律不是自然规律，而是自然规律的规律。
显然，这里所说的逻辑规律是演绎推理。因此可以断言，对于认识自然而言，演绎推理是不能直接发挥效能的。
为了更加清晰地把握推理的精髓，我们把两种不同推理的过程简单描述如下：推理的主线是命题之间具有传递性，在这个主线的基础上，演绎推理是命题所涉及的范围由大到小的推理，归纳推理是命题所涉及的范围由小到大的推理。所谓命题范围由大到小或者由小到大，是推理模式从一般到特殊或者从特殊到一般的具体描述，我们可以从演绎推理的经典句式和归纳推理的经典句式中理解这种表述。从逻辑层面考虑，正因为演绎推理是命题范围由大到小的推理，因此通过演绎推理得到的结论是必然的，但不能用于发现新的知识；与此相反，正因为归纳推理是命题范围由小到大的推理，因此通过归纳推理得到的结论是或然的，但能够用于发现新的知识。在第三辑的讨论中我们可以感悟到，演绎推理的逻辑性集中表现在命题之间的传递性，通过这本书的讨论我们也将知道，归纳推理的逻辑性也体现在命题之间的传递性。
虽然我们认为归纳推理是一种“自然”的推理模式，但其中存在着一个重大的哲学问题，就是归纳推理的“合理性”问题。归纳推理的本质是，从经验过的东西推断未曾经验过的东西，从事物的过去和现在推断事物的未来，或者从事物的现在推断事物的过去。那么就产生了这样的问题：这种推断本身是合理的吗？这个问题似乎是不可论证的，一方面，这种合理性是不能通过演绎方法证明的，否则归纳推理也可以归入演绎推理的范畴；另一方面，这种合理性也不能通过归纳方法证明，否则将成为无限的循环论证。这个问题最早是英国哲学家休谟提出来的，因此这个问题被称作休谟问题，有时，人们也称其为归纳问题。在这本书中，我们将尝试地回答这个问题。
如果我们认为归纳推理是一种“自然”的推理模式，那么，关于归纳推理的讨论就应当从探寻人类最为原始的推理形态开始。