1.3 带符号数的代码表示
1.3.1 原码及其运算
日常书写时在数值前面用“+”号表示正数，用“-”号表示负数，这种带符号二进制数称为真值。在计算机处理时，必须将“+”和“-”转换为数码，符号数码化的数称为机器数。一般将符号位放在最高位，用“0”表示符号为“+”，用“1”表示符号为“-”。根据数值位的表示方法不同，有3种类型：原码、反码和补码。
原码是指符号位用0表示正，1表示负；数值位与真值一样，保持不变。
如：已知X1=+1101，X2=-1101，则[X1]原=01101，[X2]原=11101。
已知X3=+0.1011，X4=-0.1011，则[X3]原=0.1011，[X4]原=1.1011。
可以用下面的公式来将真值转换为原码（含一位符号位，共n位）。
整数：
表示范围：-127～+127（8位整数时）。
注意整数“0”的原码有两种形式，即[+0]原=00…0和[-0]原=10…0。
纯小数：
纯小数“0.0”的原码也有两种形式。
原码的优点是容易理解，它和代数中的正负数的表示方法很接近。但原码的缺点是“0”的表示有两种；原码的运算规则复杂，若X=Y+Z，但（X）原≠（Y）原+（Z）原。
例如（+1000）2=（+1011）2+（-0011）2，但是（+1011）原=01011，（-0011）原=10011，它们直接相加不等于（+1000）2的原码（01000）。为了使结果正确，原码的加法规则为：
1）判断被加数和加数的符号是同号还是异号。
2）同号时，做加法，结果的符号就是被加数的符号。
3）异号时，先比较被加数和加数的数值（绝对值）的大小，然后由大值减去小值，结果的符号取大值的符号。
由于原码的运算规则复杂，为了简化机器数的运算，需要寻找其他表示负数的方法。
1.3.2 反码及其运算
反码的符号位用“0”表示正，“1”表示负；正数反码的数值位和真值的数值位相同，而负数反码的数值位是真值的按位变反。
可以用下面的公式来将真值转换为反码（含一位符号位，共n位）。
整数：
表示范围：-127～+127（8位整数时）。
注意整数“0”的反码有两种形式，即[+0]反=00…0和[-0]反=11…1。
纯小数：
同理，纯小数“0.0”的反码也有两种形式。
采用反码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。
[X1+X2]反=[X1]反+[X2]反
[X1-X2]反=[X1]反+[-X2]反
运算时符号位和数值位一起参加运算。当符号位有进位产生时，应将进位加到运算结果的最低位，才能得到最后结果，称为“循环相加”（或“循环进位”）。
【例1-6】已知X1=+0.1110，X2=+0.0101，求X1-X2。
解：X1-X2可通过反码相加实现。运算如下。
[X1-X2]反=[X1]反+[-X2]反=0.1110+1.1010
=10.1000（符号位上有进位）
=0.1001
在反码中，从[X]反求[-X]反的方法是符号位连同数值位一起0变1，1变0。
例如，[X]反为0.0101，则[-X]反为1.1010。
1.3.3 补码及其运算
补码是符号位用“0”表示正，“1”表示负；正数补码的数值位和真值相同，负数补码的数值位是真值的按位变反，再最低位加1。
如：X1=+1101，X2=-1101，则[X1]补=01101，[X2]补=10011。
X3=+0.1011，X4=-0.1011，则[X3]补=0.1011，[X4]补=1.0101。
可以用下面的公式来将真值转换为补码（含一位符号位，共n位）。
整数：
表示范围：-128～+127（8位整数时），补码10000000表示-128（-27）。
整数“0”的补码只有一种形式，即00…0。
纯小数：
采用补码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。
[X1+X2]补=[X1]补+[X2]补
[X1-X2]补=[X1]补+[-X2]补
运算时符号位和数值位一起参加运算，不必处理符号位上的进位（即丢弃符号位上的进位）。
【例1-7】已知X1=+0.1110，X2=+0.0101，求X1-X2。
解：X1-X2可通过补码相加实现。运算如下。
[X1-X2]补=[X1]补+[-X2]补=0.1110+1.1011
=10.1001（丢弃符号位上的进位）
=0.1001
当真值用补码表示时，补码加法的规律和无符号数的加法规律完全一样，因此简化了加法器的设计。
从[X]补求[-X]补的方法是符号位连同数值位一起变反，尾数再加1。
【例1-8】已知X=+100 1001，求[X]补和[-X]补。
解：[X]补=0100 1001，[-X]补=1011 0110+1=1011 0111
1.3.4 符号位扩展
在实际工作中，有时会遇到两个不同位长的数的运算，如将8位与16位机器数相加，为确保运算正确，两者在运算时应将符号位对齐。例如将8位与16位机器数相加，则应将8位数扩展为16位数，一种容易理解的方法是先根据机器数得到真值，在真值前面填8个0，然后转变为机器数。更快的方法是，对于反码、补码，扩展的数据位的值和原来符号位的值是一样的。