3.5　稀疏矩阵

在许多问题中提到了含有大量0元素的矩阵，这样的矩阵称为稀疏矩阵。为了节省存储空间和计算时间，MATLAB考虑到矩阵的稀疏性，在对它进行运算时有特殊的命令。

一个稀疏矩阵中有许多元素等于零，这便于矩阵的计算和保存。如果MATLAB把一个矩阵当作稀疏矩阵，那么只需在m×3的矩阵中存储m个非零项。第1列是行下标，第2列是列下标，第3列是非零元素值，不必保存0元素。如果存储每个浮点数需要8字节，存储每个下标需要4字节，那么整个矩阵在内存中存储需要16×m字节。

例3-51：稀疏矩阵与普通矩阵示例。

在命令行窗口中输入：

上例中的矩阵A存储需要8MB空间，而稀疏矩阵B存储只需16KB空间，其所需空间只是单位矩阵的0.2%。对于许多的广义矩阵也可这样来做。

前面章节中的算术运算和逻辑运算都适用于稀疏矩阵。而相对于普通矩阵来说，稀疏矩阵的计算速度更快，因为MATLAB只对非零元素进行操作，这是稀疏矩阵第二个突出的优点。例如，在上例中，2∙A需要100万次浮点运算，而计算2∙B只需要2000次浮点运算。因为MATLAB不能自动创建稀疏矩阵，所以要用特殊的命令来得到稀疏矩阵。

稀疏矩阵大部分元素是0，因此只需存储非零元素的下标和元素值，这种特殊的存储方式可以节省大量的存储空间和不必要的运算。

3.5.1　稀疏矩阵的存储方式

对于稀疏矩阵，MATLAB仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置（行号和列号）。显然，这对于具有大量0元素的稀疏矩阵来说是十分有效的。

设矩阵是具有稀疏矩阵特征的矩阵，其完全存储方式是按列存储的全部12个元素：1,0,2,0,5,0,0,0,0,0,0,7；其稀疏存储方式为：(1,1),1,(3,1),2,(2,2),5,(3,4),7。

其中，括号内为元素的行列位置，后面为元素值。当矩阵非常“稀疏”时，会有效地节省存储空间。

3.5.2　稀疏矩阵的生成

MATLAB中提供了多种创建稀疏矩阵的方法。

●　利用sparse函数由满矩阵转换得到稀疏矩阵。

●　利用一些特定函数创建包括单位稀疏矩阵在内的特殊稀疏矩阵。

1．利用sparse函数创建一般稀疏矩阵

稀疏矩阵的指令集如表3-4所示。

例3-52：输入一个稀疏矩阵示例。

在命令行窗口中输入：

结果如下：

此外，sparse函数还可以将一个满矩阵转换成一个稀疏矩阵，相应的调用格式如下。

●　S=sparse(X)：X为满矩阵。

例如矩阵A=，

输入命令：

得到结果如下：

反之，MATLAB中提供了full()函数把稀疏矩阵转换为满矩阵。full()函数的调用格式如下。

●　A=full(S)：S为稀疏矩阵。

例如将上例中得到的稀疏矩阵S转换为满矩阵。

输入命令：

得到结果如下：

例3-53：将普通矩阵转换为稀疏矩阵示例。

在命令行窗口中输入：

输出结果：

例3-54：查看稀疏矩阵中非零元素的信息示例。

在命令行窗口中输入：

输出结果：

利用spy()函数可以对稀疏矩阵中非零元素的分布进行图形化显示，如图3-4所示。采用nnz(S)/prod(size(S))计算稀疏矩阵的非零元素密度。

2．利用特定函数创建特殊稀疏矩阵

MATLAB中提供了一些函数来创建特殊的稀疏矩阵，这些函数如表3-5所示。

例3-55：利用speye函数创建单位稀疏矩阵示例。

在命令行窗口中输入：

输出结果：

例3-56：创建非零元素为随机数的对称稀疏矩阵示例。

在命令行窗口中输入：

输出结果：

3.5.3　稀疏矩阵的运算

满矩阵的四则运算对稀疏矩阵同样有效，但是返回结果有可能是稀疏矩阵或满矩阵。

对于单个稀疏矩阵的输入，大部分函数输出的结果都是稀疏矩阵，有部分函数输出的结果是满矩阵。对于多个矩阵的输入，如果其中至少有一个矩阵是满矩阵，那么大部分函数的输出结果是满矩阵。

对于矩阵的加、减、乘、除运算，只要其中有一个矩阵是满矩阵，则输出的结果都是满矩阵。

稀疏矩阵的数乘为稀疏矩阵；稀疏矩阵的幂为稀疏矩阵。