第二节 最优套期保值比率模型

从实际情况看，套期保值难以消除或转移所有的价格风险，完美的套期保值策略可以说只是理论上的设想，在实际中极为罕见。但从套期保值者自身要求来看，还是希望将套期保值做得尽可能完美，因此需要考虑如何使套期保值的策略尽可能完美。这就涉及最优套期保值策略与比率的选择问题。可以说，套期保值理论的核心就是最优套期保值比率的确定问题。

关于最优套期保值比率的确定问题，已有的研究主要集中在两个方面：一是运用不同的理论模型来确定最优套期保值比率；二是运用不同的计量方法，来获得根据模型所确定的套期保值比率。目前，有影响的最优套期保值模型主要有两类：一类是静态的最优套期保值模型；另一类是动态的最优套期保值模型。前一种模型得到的最优套期保值比率是不变的，而后一种模型得到的最优套期保值比率可能会随着时间的变化而变动。

一 静态最优套期保值模型

从理论与实际情况来看，套期保值策略运用成功的关键是找到最优的套期保值比率。由于套期保值者的动机不同，最优套期保值比率所依据的模型有所不同。当然，在特定条件下，不同的模型之间也存在着一定联系，常见的静态最优套期保值模型主要有以下几种：

（一）最小方差套期保值模型

最常见的静态最优套期保值模型是最小方差套期保值模型。基于资产组合理论，用收益的方差来衡量套期保值组合的风险。即根据套期保值组合风险或方差最小的条件得到最优的套期保值比率。

期货套期保值者通过持有与现货头寸相反的期货头寸来构筑一个投资组合，旨在消除或削减一定数量的现货头寸裸露的风险。假如持有Q个单位的现货资产，需要对这个裸露的头寸进行套期保值，套期保值的策略如何设计呢？可以考虑这样一个组合，持有现货多头Q个单位，同时持有期货合约空头X个单位。设Ft为期货合约的价格，St代表相应的现货价格。在一个两期模型中，在期初，投资者拥有一定数量的现货资产头寸，为了对已有的现货资产风险暴露进行套期保值，投资者需要在期货市场上卖出特定数量的期货合约，则在期末，套期保值者的收益为：

r_p=（QS_tr_s-XFr_f）/QS_t=r_s-hr_f　　　　　　（2.1）

r_s代表现货头寸的收益，r_f代表期货头寸的收益，套期保值者选择X来使收益的风险或不确定性最小化。套期保值者的风险可以用保值组合收益的条件方差表示：

Var（r_p）=Var（r_s）-2Cov（r_s，r_f）XF_t/QS_t+Var（r_f）［XF_tQS_t］²　　　　　　（2.2）

Var（r_p）的最小化一阶条件为：

∂Var（r_p）/∂X=0　　　　　　（2.3）

由此可得：

X^*=［Cov（r_s，r_f）/Var（r_f）］QS_t/F_t=h₁QS_t/F_f　　　　　　（2.4）

h₁=Cov（r_s，r_f）/Var（r_f）=X^*F_t/QS_t　　　　　　（2.5）

其中，h₁即为最小方差模型的最优套期保值比率。

最小方差套期保值模型的优点在于简单、直观。但是，该模型忽略了收益因素的影响，与均值-方差分析框架不相符，因此在理论上不是最好的模型。

（二）夏普比率模型

在金融理论中，夏普比率（Sharpe ratio）结合了组合的均值与方差，体现了风险与期望收益的替换。Howard and D′Antonio^[8]通过最大化套期保值组合的夏普比率求得最优的套期保值比率：

其中，σ²=Var（r_p），r₀代表无风险利率。在此模型中，最优的期货合约数量：

由此可得最优的套期保值比率：

只有E（r_p）=0，才有h₂=h₁。即只有组合收益的期望值为0时，夏普比率模型计算的最优套期保值比率才等于最小方差模型下的最优套期保值比率。

（三）期望效用最大化模型

为了弥补最小方差套期保值模型的不足，许多套期保值策略在效用最大化的框架下推导出最优套期保值比率。假如套期保值者的效用函数为von-Neumann Morgenstern期望效用函数U（.），满足U（.）′＞0，U（.）″＜0，则套期保值者的期望效用为：

E［U（r_p）］=E{U［（QS_tr_s-XF_tr_f）/QS_t］ }　　　　　　（2.9）

在期望效应最大化框架下，最优套期保值模型的推导都与特殊的效应函数假设联系在一起。Hsinetal^[9]提出了均值-方差模型，把风险和收益引入期望效用函数，通过最大化maxU［E（r_p），σ，A］=E（r_p）-0.5Aσ²_p求得了最优的套期保值比率：

其中，A代表风险规避倾向。Hsinetal的模型弥补了最小方差套期保值模型的缺点。但是，不同的套期保值者有不同的风险规避倾向，参数A的值各不相同，因此所得的最优套期保值比率也不同。由上式可知，只有当A→∞，或者E（r_p）=0时，均值-方差模型与最小方差模型才能得到相同的最优套期保值比率，即有h₃=h₁。A→∞意味着套期保值者是无限风险规避者，E（r_p）=0代表期货合约的期望收益为零。因此，只要期货价格服从鞅过程，就可以得到最优的套期保值比率，而无须知道保值者的风险规避倾向。如果期货价格是有偏的，即E（r_p）≠0，例如由于交易成本的存在，那么在期望效用框架下得到的最优套期保值比率就不等于最小方差套期保值比率。

把期望收益和方差引入效应函数，虽然满足了均值-方差分析框架，但是特定的效用函数形式不一定满足效用最大化条件。效用最大化存在的条件要求效用函数是二次的，或者收益联合分布服从正态假设。因此，在效用最大化框架下推导最优的套期保值比率还要求特定的期望效用函数。Cecchettietal^[10]假定效用函数的形式为：

其中，f（r_s，r_f）是双变量正态分布函数。在此基础上推导最优的套期保值比率。

（四）半方差模型

风险可以用期望收益的方差来定义，也可以使用半方差来描述。如果投资者仅担心其收益水平低于目标收益，那么用半方差定义风险比方差更合适。许多研究表明，半方差定义风险更容易为管理者所理解。

Fishburn^[11]和Bawa^[12]运用最小化半方差求得了最优的套期保值比率：

其中参数α＞0，表示风险规避倾向，参数δ代表目标收益，G（r_p）是套期保值组合的收益的概率分布函数。Lien and Tse^[13]的研究表明，如果期货与现货价格收益服从联合正态分布，且期货价格满足随机游走的过程，那么最小化半方差与最小化方差都能够得到同样的最优套期保值比率。

Chenetal^[14]拓展了最小化半方差模型，把收益均值引入以半方差定义的效用函数，通过最大化均值-半方差效用函数来得到最优的套期保值比率。Chenetal模型的效用函数定义为：

U（r_p）=E（r_p）-S_b（r_p）　　　　　　（2.13）

（五）基尼系数模型

传统的最小方差组合理论假定资产的收益服从正态分布，或者效用函数是二次的。然而，正态分布的假定日益受到实证方面的怀疑，而效用函数二次性隐含套期保值者的绝对风险规避程度是财富的增函数，这有悖于实际的观测和经验。

随机占优的投资理论可以克服组合理论的不足，Yitzhaki^[15]和Shalit and Yitzhaki^[16]根据随机占优理论提出了扩展的基尼系数模型，但该模型的不足是该方法难于在实践中得到应用。

二 动态的最优套期保值模型

静态的最优套期保值模型得到的最优套期保值比率是基于无条件信息集，因此最优套期保值比率是变的，这意味着套期保值比率一经确定，在保值期间就不会变动。然而，最优的套期保值比率不是不变的，它可能随着时间变动而变动。这是因为最优套期保值比率依赖于可得到的信息集Φ，它是Φ的函数。随着信息集的变化，套期保值比率可能都会随之改变。如果考虑信息变动的影响，最小方差套期保值模型中保值组合收益的风险要用条件方差表示：

Var（r_p|Φ）＝Var［（QS_tr_s-XF_tr_f）/QS_t |Φ］ 　　　　　　（2.14）

根据Var（r_p|Φ）最小化的一阶条件可得最优的期货保值头寸和套期保值比率：

X^* = ［Cov（r_s，r_f |Φ）/Var（r_f |Φ）］QS_t/F_t = h₁QS_t/F_t　　　　　　（2.15）

h^′₁= Cov（r_s，r_f |Φ）/Var（r_f |Φ）= X^*F_t/QS_t　　　　　　（2.16）

由上式可知，最小方差套期保值比率依赖于期货收益与现货收益的条件二阶矩，随着信息的变化，二阶矩可能发生变化，从而最优套期保值比率也随之变化。因此，经常用Arch和Garch等条件异方差模型来处理因新信息而导致的方差变动。

Lien and Luo^[17] 则考虑了一个多期套期保值模型，进而允许最优的套期保值比率在不同的期间发生变动。Lien and Luo通过最小化终期财富波动的方差求得了最优的多期套期保值比率：

由上式可以发现，只要当期的期货价格变动与将来期货价格的变化相关，或者与将来的现货价格变化相关，那么多期最优套期保值比率就与单期最优套期保值比率不同。

当然，上述所有的模型都假定现货头寸是固定不变的，或者是可以事前确定的。这样的假定对于金融期货可能是合适的，但对于商品期货而言，这样的假定可能不合适，因为它忽略了商品的生产过程，而商品的生产过程是不可忽略的。这就意味着现货头寸也成为一个决策变量，Lence^[18]研究了在现货头寸可变的情况下，最优套期保值比率的确定问题。

三 套期保值的估算方法

为了将由上述模型得到的最优套期保值比率运用于实践，需要具体估算相应的套期保值比率。下面介绍几种常用的套期保值比率估算方法。

（一）套期保值的OLS估计方法

传统的最小方差套期保值比率可以由OLS方法得到。

r_st=α+βr_ft+ε_t　　　　　　（2.18）

β给出了套期保值比率的估计。

或者通过现货价格的变化对相应的期货价格的变化进行线形回归，斜率项系数恰好就是要估计的最优套期保值比率。具体而言，对于如下的回归方程：

ΔS_t=αβΔF_t+e_t　　　　　　（2.19）

斜率系数β的估计给出了最小方差保值比率的值，即

β=Cov（ΔS_t，ΔF_t）/Var（ΔF_t）=h　　　　　　（2.20）

套期保值是有一定期限的，在两期模型中，套期保值者非常关注从期初到期末这段时间套期保值组合价值的变化，因此所用差分的间隔和数据频率要与套期保值所需要的期限相对应。如果套期保值的期限为一个月，那么差分的间隔也应该是一个月。如果套期保值的期限很短，比如说是一周，所用的数据频率至少应该为周数据，有时现货市场的数据可能满足不了上述要求。

虽然OLS是常用来估算套期保值比率，不管实际的效果如何，从严格的理论分析上看，仅仅依靠期货价格和现货价格的历史数据的简单回归所得到的保值比率是存在问题的，Stoll and Whaley认为其原因有三：一是数据问题；二是关于分布的联合假设问题；三是数据样本的有限性带来的问题。

由OLS方法得到的保值比率是无条件二阶矩的函数，而真正的最小方差保值比率是条件二阶矩的函数。Bell and Krasker^[19]指出：在正确的回归模型中，回归系数应是可得信息的函数，即

r_s=α（Φ）+β（Φ）r_f+ε_t　　　　　　（2.21）

遗憾的是，在实证分析中，上述形式的回归系数是无法得到准确估计，研究者可能必须对模型做出设定来解决此类问题。为了反映当前可得信息对套期保值策略的影响，Myers and Thompson^[20]使用条件协方差和条件方差来估算最优套期保值比率h₁：

h₁=Cov（r_s，r_f|Φ）/Var（r_f|Φ）　　　　　　（2.22）

假定当前的信息集Φt-1是由一系列的变量组成Xt-1，期货价格变化与现货价格变化服从下述过程：

ΔS_t=X_t-1α+u_t　　　　　　（2.23）

ΔF_t=X_t-1β+v_t　　　　　　（2.24）

Myers and Thompson给出了极大似然法估计的最小方差模型的最优套期保值比率：

其中是回归参差u_t和v_t的样本协方差，是回归参差v_t的样本方差。一般而言，简单的OLS估计和基于条件二阶矩的极大似然估计所得到的最优套期保值比率的估计值是不相同的，但是如果现货价格变化和期货价格变化服从下述生成过程，则OLS估计和极大似然估计会得到相同的值。

ΔS_t=α₀+u_t　　　　　　（2.26）

ΔF_t=β₀+v_t　　　　　　（2.27）

换言之，如果期货价格与现货价格服从带漂移或不带漂移的随机过程，那么两个估计值是相同的，否则，用OLS回归估计的最优套期保值比率就不是最优的。

（二）ARCH与GARCH方法

OLS方法假定期货价格和现货价格的方差是固定的，而许多研究发现期货价格与现货价格变动往往带有异方差的性质，因此传统的OLS估计方法会产生系统的估计偏差。为了弥补上述不足，经常用GARCH模型来估计最优套期保值比率。由于GARCH模型用样本的条件方差和条件协方差进行估值，因此不仅解决了数据异方差带来的估计问题，还允许最优的套期保值比率在不同的套期保值期间各不相同，进而反映新信息对保值比率的影响。

Baillie&Myers^[21]采用双变GARCH模型来估计套期保值比率，形式如下：

其中e_t|Ω_t-1～N（0，H_t），且有：

在t时刻，最小方差模型的条件最优套期保值比率为：

h_t=H_12，t/H_22，t　　　　　　（2.30）

由于现货收益率和期货收益率的条件二阶矩只受其自身历史信息及其新生平方的历史信息的影响。因此，与单期套期保值不同，h_t在不同的套期保值期间各不相同。

（三）随机系数方法

Grammatikos and Saunders^[22]通过随机模型来获得最优的套期保值比率，他们的模型假定现货价格变化和期货价格变化满足下述关系：

ΔS_t=β₀+β_tΔF_t+e_t　　　　　　（2.31）

其中套期保值比率，是一个随机变量。

Lien^[23]发现随机波动模型估计的最小方差套期保值比率的均值比传统保值比率的均值大，在期货价格与现货价格的条件方差变动激烈并且几乎不相关时，随机波动模型非常有效。但是，该模型产生的最优套期保值比率并不随时间变动，只是通过随机性来纠正对保值比率的估计，进而消除异方差的影响。

（四）协整与误差纠正模型

至此，上述模型还没有考虑到期货价格和现货价格的非平稳问题。如果两者都是一个含有单位根的非平稳序列，那么，它们之间可能存在一定的协整关系。简单回归期货价格变化与现货价格变化，仅考虑了期货价格与现货价格之间存在的长期关系，而忽略了两者之间的短期调整。因此，应在协整的基础上采用误差纠正模型来估计最优的套期保值比率。

Fama and French^[24]，Castelino^[25]and Viswanath^[26]认为基差反映了期货价格向现货价格收敛的趋势，因此它是一个重要的信息变量。这种思想在协整文献中得到充分的反映。许多研究发现期货价格序列与现货价格序列是1阶可积的非平稳随机序列，根据期货价格的定价理论，两者之间存在一定的协整关系，即

S_t=a+bF_t+μ_t　　　　　　（2.32）

相应的误差修正模型为：

其中β就是最小方差保值比率。

许多实证研究表明，将期货价格与现货价格间的协整关系纳入估计保值比率的回归模型会提高套期保值的效果。

上述方法假定μt是0阶可积的，当μt的阶数d＜1时，Sowell^[27]和 Dueker and Startz^[28]等人考虑了两个变量的偏协整关系，Lien and Tse^[29]把这种方法应用到最小方差保值比率估计问题上，他们分别在误差修正与部分协整误差修正假设下估计了日经股指期货的最小方差套期保值比率，发现尽管数据支持部分协整假定，但是部分协整模型不能提高套期保值的表现。在协整的框架下，最近的进展是考虑基差的非线性影响（Balke and Fomby^[30]，Dwyer，Locke and Yu^[31]）。

其他模型的套期保值比率估算比较简单，只要将总体矩用样本的估计矩来代替，就可以得到相应的套期保值比率。以夏普比率模型为例，将期望收益用样本均值代替，用样本的标准差和相关系数代替模型中的标准差和相关系数，最后代入模型的公式，就得到其最优的套期保值比率。

（五）套期保值比率与套期保值的期限

尽管不同的估计模型可能产生不同结果，一般而言，随着套期保值期限的不断延长，套期保值比率会相应地增加。Lien and Tse^[32]指出在一定条件下，理论上的最小方差保值比率是稳定的，换言之，对于不同的套期保值期限，套期保值比率都是相同的。这意味着估计最优套期保值比率时可以把样本数据的区间作为套期保值的期限，即可以缩短样本观测的期间来更有效地利用样本数据。

Lence and Hayes^[33]则认为套期保值比率可能不具备上述假定，这样做可能会增加模型设定的误差。由于模型设定的偏误会导致估计风险，从而使基于最小方差保值比率的估计并不能产生最优的决策。

套期保值策略有一个重要的性质，即在一定的条件下，根据期望最大化计算出的套期保值比率与期望效用函数的形式无关。上述性质成立需满足的条件为：一是不允许借贷；二是不存在交易成本；三是现在的期货价格是未来期货价格的一个无偏估计。尽管有大量的文献讨论如何提高最小方差套期保值比率的估计效果，但是很少有人注意上述限制条件对套期保值策略的影响。复杂的估计技术的作用可能非常有限，套期保值者需要寻找更简单、更直观的套期保值模型。

四 中国期货市场的套期保值效率实证研究现状分析

期货市场风险转移的功能主要通过套期保值策略实现。期货套期保值策略主要有3个：传统的套期保值策略、基差套期保值策略和最优套期保值策略。

传统的套期保值理论假定套期保值的比例是1，即套期保值的数量与标的资产的数量是相等的。然而传统的套期保值策略并不一定能够最小化风险，因为期货价格与现货价格的变动并不完全一致，所以传统的套期保值策略隐含着很大的基差风险。因此，套期保值比例为1就往往不是最优的。

20世纪50年代以来，随着期货市场深度和广度的拓展以及金融投资理论及其分析技术的发展，西方学者开始关注套期保值策略的运用问题。其中沃金（Working）率先提出了基于基差预测的选择性（基差套利型）套期保值思想，而自从Johnson和Stein开始引入Markowitz资产组合理论来解释套期保值问题后，最优套期保值比率以及套期保值有效性问题逐渐成为期货市场研究的热点。他们认为交易者进行套期保值实际上是对现货市场和期货市场的资产进行组合投资，套期保值者根据资产组合的预期收益和预期收益方差来确定现货市场和期货市场的交易头寸，以使收益风险最小化或效用最大化。由于风险度量方法和效用函数选择的不同，西方学者提出了众多模型并开展了大量相关研究。目前，对期货市场最优套期保值比率的研究可分为两大类：一类是从组合资产收益风险最小化的角度，研究最小风险套期保值比率；另一类是同时考虑组合资产收益和收益方差，从效用最大化的角度研究均值-风险套期保值比率。

从收益风险最小化的角度研究期货市场套期保值问题，就是将在现货市场和期货市场的交易头寸视作一个投资组合，在组合资产收益风险最小化的条件下，确定最优套期保值比率。Johnson最早在收益方差最小化的条件下，提出了商品期货最优套期保值比率的概念，并给出了最优套期保值比率的计算公式。Ederington将上述方法应用到了金融期货市场，并提出了期货市场套期保值有效程度的计量指标。Witt等总结了用传统的最小二乘法（OLS）回归模型估计最小风险套期保值比率的基本方法。

虽然传统的最优套期保值比率估计方法在早期占据很重要地位，但是随着计量经济学的发展，很多学者开始批评运用OLS计算最小风险套期保值比率的缺点——残差无效性问题。如Bell、Krasker证明了如果期货价格的变化依赖于前期的信息，那么这种传统的计算方法将会错误地估计最小风险套期保值比率；Park、Bera指出，由于这种简单的回归模型会忽略现货价格和期货价格序列的异方差性，因此传统的最小二乘法不适合最小风险套期保值比率的估计；Herbst、Kare、Marshall和Myers、Thompson也发现利用OLS进行最小风险套期保值比率的计算会受到残差项序列相关的影响，同时解释变量与被解释变量的协方差以及解释变量的方差也应该是考虑信息的条件统计量，为了消除残差项的序列相关和增加模型的信息量，可以利用双变量向量自回归模型B-VAR（Bivariate-VAR Model）进行最小风险套期保值比率的计算，而且这种模型可以更广泛应用于各种期货价格与现货价格模式，改善传统模型须受制于诸多前提假定的情况。

随着20世纪80年代以后自回归条件异方差模型（ARCH）的发展和广泛应用，学者们开始从动态角度研究最优套期保值比率问题，并且提出了一些基于条件方差的动态套期保值比率计算方法。Cecchetti等利用ARCH模型计算了美国国债期货合约的最小风险动态套期保值比率，发现套期保值比率随着时间的变化而变化；Baillie、Myers则通过GARCH模型估计最小风险套期保值比率，并对美国期货市场大豆合约、玉米合约等进行了实证研究。

另一个被更广泛关注的问题是现货价格和期货价格之间的协整关系对最小风险套期保值比率的影响。金融时间序列数据往往是非平稳的，为了得到平稳的时间序列数据，研究者往往利用数据的变化量进行研究。把经典的统计方法应用于这种数据虽然是有效的，但却是以损失潜在的有价值的长期信息为代价的。Granger于1981年提出了协整理论，Engle、Granger又对这一理论进行了发展，协整理论同时考虑了金融时间序列的长期均衡关系和短期动态关系。他们认为，对于两组非平稳的时间序列数据，如果存在一个平稳的线性组合，那么这两组时间序列数据就存在协整关系，同时也就一定存在一个误差修正表达式。

Ghosh根据Granger、Engle的协整理论，提出了估计最小风险套期保值比率的误差修正模型ECM（Error Correction Model），这一模型同时考虑了现货价格和期货价格的不平稳性、长期均衡关系以及短期动态关系。Ghosh利用股票指数及股指期货进行了实证研究，证明考虑现货价格与期货价格的协整关系，有利于获得一个更优的最小风险套期保值比率；Lien、Luo则指出，虽然GARCH模型可以描述价格行为，但是在比较各个套期保值比率的效果时，现货价格与期货价格间的协整关系是必须考虑的因素；Lien的研究为协整关系如何影响最佳套期保值比率提供了理论支持，并进一步提出了简化的误差修正模型S-ECM，他指出，“套期保值者如果忽视协整关系，那么他将得到一个相对较低的最小风险套期保值比率，同时套期保值效果也会相应的变差。”此外，Wahab、Lashgari和Tes也对这一问题进行了研究，同样发现期货价格和现货价格之间的协整关系对于最小风险套期保值比率的计算有很重要的影响。在Granger协整理论和误差修正模型的基础上，Sowell，Cheung、Lai和Dueker、Startz提出应该考虑两组时间序列数据间的分数协整关系。Lien、Tse利用分数协整模型（FIEC）估计了日经指数期货合约的最小风险套期保值比率，发现期货价格和现货价格数据存在分数协整关系，但是在此基础上得出的套期保值比率有效性并没有任何改善。

目前，中国对套期保值的研究大多偏重于对套期保值理论方面的阐述，对期货市场套期保值功能缺乏实证分析。为了弥补现有研究的不足，本章基于国内有关期货合约交易的数据，运用传统回归模型（OLS）、双变量向量自回归模型（B-VAR）、误差修正套期保值模型（ECHM）、误差修正GARCH模型（EC-GARCH）4种统计模型对样本数据进行平稳性和协整关系检验，并估计最小风险套期保值比率，比较和考察中国期货市场套期保值策略问题。在选取品种方面，我们以农产品期货、金属期货、化工品期货和金融期货来分类选取品种，其中农产品包括豆油和大豆、金属包括铜、铝和螺纹钢、化工品包括橡胶和聚乙烯以及金融期货中的股指期货。

需要说明的是，由于每个期货合约都将在一定时间到期，合约到期后，该合约将不复存在。因此，单个合约的期货价格具有不连续性特点。但在同一交易日，同时有若干个不同交割月份的同一品种的期货合约在进行交易，所以，同一期货品种在同一交易日会同时有若干个不同交割月份的期货数据存在。为克服单个合约期货价格不连续的缺点，在此，我们选取各个品种的主力连续合约作为实证研究分析的依据。