2.2 向量范数与内积空间的概念

在欧氏空间中常用欧氏距离来衡量向量的大小、两个向量的距离等，而在一般的线性空间中，则需要用向量的范数来衡量向量的大小、两个向量的距离。范数可以看成欧氏距离的一种推广。

定义 2.1 （向量的范数）假设V是数域 P 上的线性空间，如果对于V 中的任意一个向量x，都有一个实数||x||与之对应，且满足以下四个条件：

1.非负性：||x||≥0；

2.正定性：||x||=0，当且仅当x=0；

3.齐次性：||cx||=|c|||x||；

4.三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||，

则称||x||为向量x的范数。

定义 2.2 （向量的内积，内积空间）假设V 是数域 P 上的线性空间，如果对于V中的任意两个向量x， y，都有一个实数（ x， y）与之对应，并且满足以下几个条件，则实数（ x， y）称为向量x， y的内积。

1.非负性：（ x， x）≥0，当且仅当x=0时，等号成立；

2.Hermite性：；

3.齐次性：（cx， y）=c（ x， y）， c∈R；

4.分配律：（ x+y， z）=（ x， z）+（ y， z）。

定义了内积空间的实线性空间V，称为内积空间。

有限维的内积空间也称为欧氏空间。在欧氏空间中，向量长度定义为

由内积的性质可以看出欧氏空间向量长度就是一种向量范数。

在欧氏空间，可以用内积定义两个向量的夹角。两个向量x， y如果满足y^*x=（ x， y）=0，则称这两个向量正交。