2.7 DSm理论基础

2.7.1 DSm理论基本概念

1.超幂集的生成

产生一个有限集合的幂集较为简单，通过对集合中所有元素进行组合就可以获得。但是超幂集的产生需要通过“∩”和“∪”两种运算，因而计算较为复杂。超幂集计算公式如下：

其中，U_n表示基于 Smarandache 编码产生的 DSm 序列；K_n表示一个大小为m×（2ⁿ-1）的系数矩阵， n为识别框架U的势， m为超幂集D^U的势，并且其大小与Dedekind序列数相对应。

如果用维恩图表示一个具有n个元素的识别框架的超幂集，则这个维恩图可以分解为2ⁿ-1个完全分离、互不相交的单元。在 Smarandache 编码中，一个数字符号用来表示那些只属于单个元素的分离单元，两个数字符号表示那些同时只属于两个元素的分离单元，并依次类推。例如：＜i＞表示只属于_iθ的分离单元，＜ij＞表示只属于_iθ和θ_j的分离单元，＜ijk＞表示只属于_iθ、θ_j和θ_k的分离单元，类推可得＜12…n＞表示只属于所有元素的分离单元，也就是所有元素的公共交集部分。这里需要特别指出的是，＜i＞与_iθ，＜ij＞与θ_i∩θ_j，＜ijk＞与θ_i∩θ_j∩θ_k是不一样的。对于θ_i∩θ_j∩θ_k而言，它包括了Smarandache编码中所有同时包含了i、 j 和k 的单元。以三元素识别框架为例，θ₁={＜1＞，＜12＞，＜123＞}，₁θ∩θ₂={＜12＞，＜123＞}，₁θ∩θ₂∩θ₃=＜123＞。Smarandache编码的表示一般直接使用阿拉伯数字1～9，并用字母代替大于9的数字。

DSm序列U_n由一组Smarandache编码表示。对于U_n而言，它首先包含了U_n-1中所有的元素，再加入元素＜n＞，最后包含了在所有U_n-1中的元素的末尾连接上n后产生的新元素。所以DSm序列可以通过递推方法来获得。起始序列U₁=[＜1＞]。n=2时，维恩图有3（2²-1）个分离单元，U₂=[＜1＞，＜2＞，＜12＞]′。当n=3时，维恩图有7（2³-1）个分离单元，U₃=[＜1＞，＜2＞，＜12＞，＜3＞，＜13＞，＜23＞，＜123＞]′。

系数矩阵K_n也可以通过递推方法获取。首先初始化K₀′=[0，1]′。将K_n-1′中的任意行r_i与K_n-1′中的每一行r_j做运算r_j′=r_i∪r_j，并将r_j′中的元素附加在r_i之后形成K_n-1′中新的一行。在对K_n-1′中的所有行进行计算后，删除重复的新的行就可以得到K_n′。对于K_n矩阵，只要删除K_n′的第一列和最后一行就可以得到。

依据这样的递推算法， K₁=[0 1]^′，。

以包含两个元素的识别框架U={θ₁，θ₂}为例，可以得到：

2.经典和混合模型

DSm理论的发展根源于DS证据理论内在固有的局限性，这主要体现在如下三个方面：（1）DS证据理论框架下的Shafer模型的识别框架包含n个穷举和相互排斥的焦元；（2）去除中间原理，即任何属于幂集2^U的元素/命题的补集仍属于幂集2^U；（3）Dempster的归一化组合规则。

DSm理论驳斥去除中间原理和 Shafer 模型，这是因为在很大一部分融合问题中，假设的命题具有模糊和不精确的本质属性，精确细化是完全不可能的，比如自然语言描述的模糊、连续和相关概念，以及一些相对意义上的概念如高/矮、胖/瘦、高兴/痛苦、冷/热等。

DSm理论存在经典模型（DSmC）和混合模型（DSmH）。

经典模型可表示为M ^f（U）或者 DSmC。假设识别框架U包含n个穷举元素（命题），注意这里舍弃了元素之间互相排斥的假设，元素之间可以相互重叠，由于不存在外在约束条件，因此称为经典模型。

混合模型可表示为M （U）或者DSmH。随着技术和知识水平的不断提高，在实际应用中，可以明确某些元素之间的排斥关系，当仅考虑融合问题的本质（模糊、模棱两可的）属性时，经典模型可能会丢失信息，尤其是在动态融合过程中，识别框架有可能随着时间的变化而发生变化。当这些约束条件强加给经典模型时，为了能够更适应实际融合情况，因此要构造动态的混合模型。Shafer模型实际上相当于混合模型M （U）在所有的排斥约束条件存在时的一种特殊情况。

3.广义化信任函数

定义2.27 （广义基本概率赋值）给定一个广义的识别框架U，定义一个基本概率赋值函数m：D^U→[0，1]，与给定的证据源有关，即

其中， m（ A）是A的广义基本概率赋值。广义化信任函数和似然函数的定义方式几乎与DS证据理论一样，即

当D^U还原成2^U时，采用Shafer模型M⁰ （U），这些定义和DS证据理论框架下经典的信任函数的定义一样。∀A∈D^U，BEL（ A）≤PL（ A）。注意：当经典DSm模型M ^f（U）起作用时，∀A≠∅∈D^U，PL（ A）=1。

4.组合规则

1）经典DSm组合规则

定义2.28 （经典DSm组合规则）假设在同一识别框架U下存在k （k≥2）条独立的、不确定的和荒谬的（即高冲突的）证据源（即专家或信息源），定义为

由于超幂集D^U在∩和∪算子下封闭，式（2.32）给出的经典组合规则能够保证融合后的信度赋值m（·）恰好是一个广义基本概率赋值，也就是说，m（·）∈[0，1]。这里定义，指在封闭空间假设其恒为零。此时经典DSm组合规则仍然满足交换律和结合律。

2）混合DSm组合规则

在融合问题中，如果考虑已知的完整性约束条件，那么经典DSm组合规则是不成立的，在这种情况下，必须选择相应的混合DSm组合规则。

被引入经典DSm模型中组成新的混合DSm模型的完整性约束条件分为三种：（1）元素θ_i，…，θ_k的交集事实上不可能发生（即）的独立性约束条件。（2）元素θ_i，…，θ_k的并集事实上不可能发生（即）的不存在性约束条件。这里排除完全退化的情况，因为在完全退化的情况下，（全部不知道），此时处理的融合问题完全变为空问题， D^U的元素只有空集∅，那么是没有意义的。（3）以上两种情况的混合形式，即至少有一个由∪和∩算子组成的，形如（θ_i∩θ_j）∪θ_k的混合命题/元素，满足完整性约束条件。k （k≥2）条独立证据源在混合DSm模型下的混合DSm组合规则如下。

定义2.29 （混合DSm组合规则）假设在混合DSm模型M （U）下，存在k （k≥2）条独立信息源，

式（2.33）～式（2.36）中的所有集合都是规范的，φ（ A）是集合A的特征非空函数，也就是说，如果 A∉∅，那么 φ（ A）=1，否则 φ（ A）=0。， u （ A）是一个计算集合 A 中的各个元素对应的最大未知集函数；是完全不知道的信息；，∅_M是属于D^U的所有相关空集的集合，即在给定的混合模型M （U）下被强制成为空集的所有元素的集合，如果模型上没有约束条件，则此时∅_M还原为∅，∅为绝对空集；S₁ （ A）对应在经典DSm模型M ^f（U）下，通过经典DSm组合规则获得的组合结果；S₂ （ A）代表转换到全部或相对不知道（比如动态问题）的所有相对或绝对空集的赋值；S₃ （ A）转移大量的相关空集的赋值到非空集合中。

事实上， k条独立证据源的混合DSm组合规则也能由以下两步来实现。

步骤1：先运用基于经典DSm模型M ^f（U）的k条独立证据源的经典DSm组合规则求组合结果，即∀A∈D^U，。这一步骤保持组合规则的交换律和结合律。当使用经典DSm模型时，不考虑完整性约束条件，混合DSm模型还原为经典DSm模型。

步骤 2：转移混合 DSm 模型中有完整性约束条件的元素的概率赋值。除非有可靠的证据给出融合问题的完整性约束条件，才需要进行步骤2的计算。

2.7.2 基于DSm理论的融合过程

在经典DSm模型下运用经典DSm组合规则，若命题给出完整性约束条件，则引入完整性约束条件重新构建一个相应的混合 DSm 模型M （U），然后在相应的混合DSm模型下运用混合DSm组合规则做出判决，如图2.1所示。

在经典DSm模型上进行融合计算，若存在完整性约束条件才进行2.7.1节中步骤2的计算。在完整性约束条件下需要考虑两种情况：（1）当N条证据都在同一时间获得时，在经典DSm模型上计算N条证据的融合结果后，再基于混合DSm模型计算N条证据的融合结果；（2）当N条证据不在同一时间获得，而是顺序得到时，在经典DSm模型上计算前（N-1）条证据的融合结果，再基于混合DSm模型计算这（N-1）条证据的融合结果，并把此结果存储下来以便进行下一次的融合。在系统获得第N条证据后，在经典DSm模型下计算N条证据的融合结果，最终得到混合DSm模型下N条证据的融合结果。

2.7.3 递归目标识别融合

假定有N个传感器探测相同主体（即相同的识别框架U），每个传感器可提供n个不同的测量状态，超幂集D^U形成了测量数据结构。测量数据结构的元素可以是互不相容的，也可以是相容的。当经典DSm组合规则能用递归的形式实现时，则可在时空域更有效地进行数据融合。本节给出测量数据结构中的元素是互不相容的递归目标识别融合。

可采用递归集中式数据融合及递归分布式数据融合两种方法^[107]。

（1）当N条证据都在同一时间获得时，采用递归集中式数据融合，过程如图2.2所示。它把（k-1）时刻的集中式累积目标识别信息m（k-1）与k时刻N条证据相组合，以得到在k时刻的累积目标识别融合信息。

（2）当N条证据不在同一时间获得，而是顺序获得时，采用递归分布式数据融合。递归分布式数据融合在每条证据上独立地进行递归信息融合，且通过选择适当门限减小融合数据矢量的维数，从而可减小整个系统的计算量。当一条证据失效时，就将之去掉，对余下的证据进行融合。递归分布式数据融合方法分为递归分布无反馈时—空信息融合和递归分布有反馈时—空信息融合两种，处理过程分别如图2.3和图2.4所示。在无反馈融合结构中，每条证据的当前测量值与上一时刻的时域累积信息m_i（ k-1）相融合得到该证据当前时刻的时域累积信息m_i（k），然后将N条证据的时域累积信息m_i（k），i=1，2，…，N，进行空域融合得到最终的时—空融合信息。在有反馈融合结构中，每条证据的当前测量值与上一时刻整个系统的时—空累积信息m（k-1）相融合，然后对N条证据的时域融合信息进行空域融合，得到当前时刻的时—空融合累积信息m（k）。在有反馈的系统中，由于每条证据都使用了整个证据集的时—空累积信息，因而它比无反馈的分布式融合结构能得到更好的性能，当然，这是以牺牲并行性为代价的。

经典DSm组合规则满足结合律和交换律的要求，而混合DSm组合规则不满足结合律和交换律的要求，这将使组合结果依赖证据组合顺序。为了克服这一缺陷，在考虑完整性约束条件时根据单个证据的冲突距离度量值conf （i，ℜ）来确定组合顺序。由于组合冲突证据将削减它们共同支持的焦元，因此为了抵消冲突证据的作用，应该先组合冲突距离度量值大的证据，然后组合冲突距离度量值小的证据，这样确保采用混合DSm组合规则得到的结果较为合理，以便于更快得到决策结果。