3 不习几何者不能入内

前文说到,数学前进到哪里,科学才能前进到哪里。数学和逻辑学是非常严谨的知识,也会渗透到其他学科中,是知识的确定性和结构,因此数学跟逻辑学和形而上学一样都很吸引哲学家。在数学中最早脱颖而出、也是最为吸引古典时期伟大先哲们的是几何学,几何学成就了人类历史上第一批伟大的数学家,如泰勒斯、毕达哥拉斯和阿基米德,他们的名字直到今天还出现在我们的课本里。在进入伟大的思想家们的视野之前,几何学是一门测量土地的学问。那时,田地的分割是常见问题,如何将一块田地平均分配?如何从田地的表面估算出它的价格?两块地之间,哪一块更靠近河岸?在将来建水渠的时候,应该遵循怎样的路向才能实现最短路径?如果要回答这些问题,那么人类就需要一种智慧——几何学。

不得不说,绳索在当时简直是一种集大成的几何学测量“神器”。对于土地测量员们来说,绳索可以是直尺、圆规和三角尺。然而,把绳索当三角尺来用会有些复杂。思考一下,如果你只有绳索,要画出一个直角,那么你会怎么做?如图2-8所示,你可以先画两个相交的圆,然后画一条直线连接两个圆的圆心,再画一条直线连接两个圆的交点。两条直线相交,就得到了一个直角。从纯理论的角度来说,这种方法无懈可击。然而,从实践的角度来说,土地测量员们每画一个直角,都不得不花费力气画两个圆,既费力又没有效率。

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图2-8 相交圆与直角

于是,土地测量员们采取了另一种更巧妙也更实际的方法:直接用绳索“制作”出一个带有直角的三角形。这种三角形被称为“直角三角形”,其中最有名的是边长比例为3:4:5的直角三角形。如果你在绳子上打出等距的13个结,把绳子进行12等分,那么你就能得到一个边长单位分别为3、4和5的直角三角形。这个具有13个结的绳子,被称为“德鲁伊之绳”,如图2-9所示,意思是具有与神对话的超能力。

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图2-9 德鲁伊之绳

当然,直角三角形的边长不一定是3、4、5,也可能是别的数字。在3800多年前,古巴比伦人已经画出一个表格,列出直角三角形的边长数字。目前,收藏在美国纽约哥伦比亚大学的普林顿322号黏土板,能够追溯到公元前1800年,上面展示了15组直角三角形的边长数据。除了边长比例为3:4:5的三角形,还有其他14个三角形,其中有一些数据相当复杂。除了少数误值,普林顿322号黏土板上的三角形大多是正确的直角三角形。在我国,早在公元1世纪左右,就有了人类历史上伟大的数学著作之一——《九章算术》,这本书的第一章也是关于测量不同形状的田地的研究。矩形、三角形、梯形、圆形、扇形甚至环形等大量的几何图形面积的计算过程被详尽地记录了下来。“今有圆田,周三十步,径十步,问为田几何?”“今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步,问为田几何?”毫无疑问的是,在我国古代,并没有“环形”田地,《九章算术》中的这些环形面积的问题是数学家们玩的几何游戏,他们提出这些问题只是为了进行理论挑战罢了。数学家们寻找各种各样的在现实中不大可能存在的几何图形,并且进行计算,直到今天,这依然是他们最喜欢做的事情。《九章算术》的第九章就是关于直角三角形的研究,即勾股定理,这就是所谓的“英雄所见略同”。数学之所以是高级的智慧或高级的道,是因为不同地域、不同种族的人问道,都会问出相同的东西,而实践理性(政治和伦理)不能。

在与几何学相关的职业中,我们不得不提到古希腊的皇家测量员。如果说土地测量员或绳索制作员的工作是测量土地或建筑物的话,那么皇家测量员的眼界则要开阔得多!在古希腊,这些皇家测量员的工作就是通过走路来测量距离的长短。有时,出于工作的原因,皇家测量员会去离家很远的地方。亚历山大在出征亚洲时,带上了几个皇家测量员,他们被带到了现在的印度边境一带。这些测量员踏着有韵律的节拍,一步步地穿越北非地区无边无垠的大地,穿越美索不达米亚北部的高地,沿着干旱的土黄色的西奈半岛一路向前,最终抵达尼罗河两岸,然后转向,向波斯帝国和现在的阿富汗前进。这些皇家测量员的工作看起来有些荒谬,然而他们得到的结果却是非常精准的,他们测量得到的结果与我们现在所知的实际距离,误差不超过5%。在埃及,来自古希腊的学者埃拉托斯特尼想要测量地球的周长。他巧妙地观察现在埃及的阿斯旺市与亚历山大港之间的太阳光线倾斜角度的差异,然后估算这两个城市之间的距离应该是地球周长的1/50,于是埃拉托斯特尼找皇家测量员来测量这两个城市之间的距离。古埃及的皇家测量员不是数人的步数,而是数骆驼的步数,结果出来了,两个城市之间的距离是5000个场(场是古希腊时期运动场的长度,即157.5米)。因此,我们地球的周长为25万个场,也就是39 690千米,这与地球的真实周长40 075.02千米的误差仅为2%。

也许与其他的古代人相比,古希腊人在自己的文化中为几何学赋予了更加崇高的地位。古希腊人认为,几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵。对于柏拉图来说,想要成为哲学家,几何学是必经之路。相传,在柏拉图学园的正门上,挂着这样的牌子——“不习几何者不能入内”。那时,几何学是如此重要,以至它最终突破了自我,渗透到其他的学科中,数学运算也用几何语言来解释。比如,欧几里得的《几何原本》第七卷中的描述:当两个数字相乘得到另一个数字时,得到的数字被称为“平面”,而这个平面的边长分别是这两个相乘的数字。比如,5乘以3,根据欧几里得的描述,数字5和数字3就是这个平面的“边”,乘积15是一个长方形的面积,即两数相乘等于长方形的面积,如图2-10所示。

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图2-10 两数相乘等于长方形的面积

类似的结构也适用于其他的几何形状,因此一些数字被称为“三角数字”,第一批被称为三角数字的有1、3、6、10,如图2-11所示。

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图2-11 三角数字

由10个点构成的三角形,叫作“圣十结构”,被毕达哥拉斯和他的追随者们认为是宇宙和谐的象征。根据同样的原理,我们还能找到一些“正方数字”,首先就是1、4、9和16,如图2-12所示。

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图2-12 正方数字

当然,我们可以继续下去,建立起数字与几何图形之间的联系,数字的几何化能使其特性变得可视化,更加一目了然。再举一个例子,你是否尝试过将所有的奇数逐个相加:1+3+5+7+9+11……如果你这样做了,就会发现奇数相加等于正方数字,如图2-13所示。

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图2-13 奇数相加等于正方数字

这是为什么呢?是什么样的魔法让这种规则始终成立呢?我们只要将正方数字切片,就能得到答案了,如图2-14所示。每增加一条折线,就相当于给上图增加奇数个小球,正方形的边长也增加了一个单位。

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图2-14 正方数字切片

虽然例子不多,但足以展示几何学的神奇,它渗透到数学、哲学等各个领域,因此柏拉图在学园的门口挂牌——“不习几何者不能入内”。在柏拉图等古希腊的数学家和哲学家看来,几何学是数学之王,如果不经过它的筛选,那么没有任何理论能够被验证。几何学的霸权不被时间限制,长久地流传下来,直到出现了一门取而代之的全新的语言——代数。