6.2　距离平方的无偏估计值

由于标量积矩阵的构造需要距离平方值，因此本节将利用式（6.2）获得距离平方的无偏估计值。利用对数换底公式可知，将该式代入式（6.2）中，并且经过简单的代数推演可得

由式（6.5）可以首先得到如下结论。

【命题6.1】距离平方的无偏估计值为

式中，。

【证明】将式（6.5）中的最后一个等式代入式（6.6）中可得

对式（6.7）右侧第3项求数学期望可得

结合式（6.7）和式（6.8）可得

由式（6.9）可知，是关于距离平方的无偏估计值。证毕。

【命题6.2】将距离平方的无偏估计值中的估计误差记为，其均值为零，方差为

【证明】由于是关于的无偏估计，因此估计误差的均值为零。的方差为

根据式（6.7）可得

对式（6.12）右侧第3项求数学期望可得

结合式（6.12）和式（6.13）可得

最后将式（6.14）代入式（6.11）中可知式（6.10）成立。证毕。

【注记6.1】由于相互间统计独立，因此估计误差也相互间统计独立。若令，则误差向量的均值为零，协方差矩阵为