1.2　导数和偏导数

1.2.1　导数偏导计算

导数定义

导数（derivative）代表在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量的变化的比值。几何意义是这个点的切线，物理意义是该时刻的（瞬时）变化率。

注：在一元函数中，只有一个自变量，也就是说只存在一个方向的变化率。这也是一元函数没有偏导数的原因。

在物理学中，有平均速度和瞬时速度之分，平均速度的公式如下：

其中，v表示平均速度，s表示路程，t表示时间。这个公式可以改写为：

其中，∆s表示两点之间的距离，而∆t表示走过这段距离需要花费的时间。当∆t趋向于0（∆t→0）时，也就是时间变得很短时，平均速度就变成了在t0时刻的瞬时速度，可表示成如下形式：

实际上，上式表示的是路程s关于时间t的函数在t=t0处的导数，一般来说，如果存在平均变化率的极限，即有

则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作f'（x0）或或。

通俗地说，导数就是曲线在某一点处的切线的斜率。

偏导数

直观地说，偏导数就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的变化率。

设函数z=f（x, y）在点（x0, y0）的领域内有定义，当y=y0时，z可以看作关于x的一元函数f（x, y0），若该一元函数在x=x0处可导，即有

函数的极限A存在，称A为函数z=f（x, y）在点（x0, y0）处关于自变量x的偏导数，记作。

在求解偏导数时，可以将另外一个变量看作常数，利用普通的求导方式求解，比如z=3x2+xy关于x的偏导数为zx=6x+y，这时y相当于x的系数。

某点（x0, y0）处的偏导数的几何意义为曲面z=f（x, y）与面x=x0或面y=y0的交线在y=y0或x=x0处的切线的斜率。

1.2.2　导数和偏导数的区别

导数和偏导数没有本质区别。如果极限存在，就都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。对于一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。对于二元函数，一个z对应一个x和一个y，因而有两个导数：一个是z对x的导数，一个是z对y的导数，称之为偏导数。求偏导数时要注意，当对一个变量求导时，将另一个变量视为常数，只对改变量求导，从而将偏导的求解转化成对一元函数的求导。