1　系统模型的建立

浅水湖泊垂向浓度分布近似均匀一致，从而使水质模型简化为二维问题.根据水平方向的浓度分布，将湖泊划分为n个单元，如图1所示的滇池被分为31个单元。对于某一单元，其水体浓度将由中心点的浓度来代表。系统滤波模型包括2个矩阵方程——状态方程和观测方程。

1.1　状态方程

对某一单元（i，j），如图2所示，根据质量平衡原理，时段dt间的水质变化应有如下关系：

式中：各变量的整数下标i-1，i，i+1，j-1，j等，为一个单元的中心在坐标x，y上的位置，分数下标i-1/2，i+1/2，j-1/2等，为两个相邻单元的交界面的坐标x，y上的位置，x为水流的主方向，y为与x正交的流向；Vi，j为（i，j）单元的水体体积，它与四周相邻单元的界面面积为Fi-1/2，j，Fi+1/2，j，Fi，j-1/2，Fi，j+1/2；Q为通过某一界面的流量，C为某一污染物浓度，例如Ci，j为某种污染物在Vi，j中心的浓度，Ci-1/2，j为界面为Fi-1/2，j上的浓度，Dx、Dy分别为某种污染物沿x，y向的扩散系数，Δx，Δy为两个相邻单元中心在坐标x、y上的间距，Si，j为（i，j）单元的源强，Wi，j为（i，j）单元的模型计算浓度随机误差，称系统噪声，gi，j为单元系统噪声权重系数.

两相邻单元面上的浓度与该相邻单元中心点的浓度有关，可近似线性组合表示：

式中：α、β为界面污染物浓度权重系数。

生化需氧量BOD和化学需氧量COD降解，用一级反应动力学关系计算，则（i，j）单元的源强为

式中对于BOD，k=k1为BOD的降解速率系数；对于COD，k=k2为COD的降解速率系数；Ui，j为单元（i，j）的污染负荷强度，即河流等向单元水体的总排污率，排入为正，排出为负。将式（2）、式（3）代入式（1），整理后得（i，j）单元水质状态变化微分方程：

式中：

对于n个单元，每个单元都可写出上面的质量平衡方程，n个方程联立，化为矩阵形式，得整个湖泊以矩阵方程描述的系统状态微分方程：

式中：C（t）=[c1（t），c2（t），…cn（t）]T，为t时n个单元的污染浓度列向量；U（t）=[u1（t），u2（t）…un（t）]T，为t时n个单元污染物质输入的负荷强度列向量，W（t）=[w1（t），w2（t）…wn（t）]T，为t时n个单元的浓度模型计算随机误差列向量，称系统噪声列向量；A=[ɑi，j]为单元污染物浓度状态转移矩阵；B=[bi，j]，输入变量分配矩阵；G=[gi，j]为系统噪声分配矩阵，其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，n。

1.2　观测方程

t时对系统中设有监测点的单元观测的水质浓度值，以向量Z（t）表示，它与系统状态变量C（t）的关系可表达成如下的观测方程：

式中：Z（t）=[z1（t），z2（t）…zL（t）]T，为t时L个单元观测的浓度列向量；H（t）=[hi，j（t）]，i=1，2，…L，j=1，2，…n，为水质浓度观测分配矩阵，由观测点在系统单元中的位置确定；M（t）=[m1（t），m2（t）…mL（t）]T，为观测随机误差列向量，称观测噪声向量。

式（5）、式（6）是建立的浅水湖泊水质系统滤波模型，应用滤波方法求解，从而做出水质实时过程预报。