1.1 计算流体力学基础

本节介绍计算流体力学的一些重要基础知识，包括计算流体力学的基本概念、求解过程、数值求解方法等。了解计算流体力学的基本知识，有助于理解Fluent软件中相应的设置方法，是工程模拟分析的根基。

1.1.1 流体力学基本概念

（1）流体的密度 流体密度的定义是流体单位体积内所含物质的多少。若密度是均匀的，则有

式中，ρ为流体的密度；m是体积为V的流体内所含物质的质量。

由上式可知，密度的单位是kg/m³。对于密度不均匀的流体，其某一点的密度定义为

例如，零下4℃时水的密度为1000kg/m³，20℃时空气的密度为1.24kg/m³。各种流体的具体密度值可查阅相关文献。

提示：流体的密度是流体本身固有的物理量，它随着温度和压强的变化而变化。

（2）流体的重度 流体的重度与流体密度有一个简单的关系式，即

式中，g为重力加速度，其值为9.81m/s²；流体的重度单位为N/m³。

（3）流体的比重 流体的比重定义为该流体的密度与零下4℃时水的密度之比。

（4）流体的黏性 在研究流体流动时，若考虑流体的黏性，则称其为黏性流动，相应地称流体为黏性流体；若不考虑流体的黏性，则称其为理想流体的流动，相应地称流体为理想流体。

流体的黏性可由牛顿内摩擦定律表示。

说明：牛顿内摩擦定律适用于空气、水、石油等大多数机械工业中的常用流体。凡是符合切应力与速度梯度成正比的流体都叫作牛顿流体，即严格满足牛顿内摩擦定律且μ保持为常数的流体，否则就称其为非牛顿流体。例如，溶化的沥青、糖浆等流体均属于非牛顿流体。

非牛顿流体有以下三种不同的类型。

1）塑性流体，如牙膏等。它们有一个保持不产生剪切变形的初始应力τ₀，只有克服了这个初始应力后，其切应力才与速度梯度成正比，即

2）假塑性流体，如泥浆等。其切应力与速度梯度的关系是

3）胀塑性流体，如乳化液等。其切应力与速度梯度的关系是

（5）流体的压缩性 流体的压缩性是指在外界条件变化时，其密度和体积发生了变化。这里的条件有两种：一种是外部压强发生了变化；另一种是流体的温度发生了变化。

流体的等温压缩率β。当质量为M、体积为V的流体外部压强发生Δp的变化时，相应地其体积也发生了ΔV的变化，则定义流体的等温压缩率为

这里的负号是考虑到Δp与ΔV总是符号相反的缘故；β的单位为1/Pa。流体等温压缩率的物理意义为当温度不变时，每增加单位压强所产生的流体体积的相对变化率。

考虑到压缩前后流体的质量不变，上式还有另外一种表示形式，即

气体的等温压缩率可由气体状态方程求得：

流体的体积膨胀系数α。当质量为M、体积为V的流体温度发生ΔT的变化时，相应地其体积也发生了ΔV的变化，则定义流体的体积膨胀系数为

考虑到膨胀前后流体的质量不变，上式还有另外一种表示形式，即

这里的负号是考虑到随着温度的增高，体积必然增大，则密度必然减小；α的单位为1/K。体积膨胀系数的物理意义为当压强不变时，每增加单位温度所产生的流体体积的相对变化率。

气体的体积膨胀系数可由气体状态方程求得：

在研究流体的流动过程时，若考虑到流体的压缩性，则称之为可压缩流动，相应地称流体为可压缩流体，例如相对速度较高的气体流动；若不考虑流体的压缩性，则称之为不可压缩流动，相应地称流体为不可压缩流体，例如水、油等液体的流动。

（6）液体的表面张力 液体表面相邻两部分之间的拉应力是分子作用力的一种表现。液面上的分子受液体内部分子吸引而使液面趋于收缩，表现为液面任何两部分之间具有拉应力，称为表面张力，其方向和液面相切，并与两部分的分界线相垂直。单位长度上的表面张力用σ表示，单位是N/m。

（7）质量力和表面力 作用在流体微团上的力可分为质量力与表面力。

质量力：与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力称为质量力。比如重力场中的重力mg，直线运动的惯性力ma等。

质量力是一个矢量，一般用单位质量所具有的质量力来表示，其形式如下：

式中，f_x、f_y、f_z为单位质量力在x、y、z轴上的投影，或简称为单位质量分力。

表面力：大小与表面面积有关而且分布作用在流体表面上的力称为表面力。表面力按其作用方向可以分为两种：一是沿表面内法线方向的压力，称为正压力；另一种是沿表面切向的摩擦力，称为切应力。

作用在静止流体上的表面力只有沿表面内法线方向的正压力。单位面积上所受到的表面力称为这一点处的静压强。静压强有两个特征。

1）静压强的方向垂直指向作用面。

2）流场内一点处静压强的大小与方向无关。

说明：对于理想流体流动，流体质点只受到正压力，没有切向力。对于黏性流体流动，流体质点所受到的作用力既有正压力，也有切向力。单位面积上所受到的切向力称为切应力。对于一元流动，切向力由牛顿内摩擦定律求出；对于多元流动，切向力可由广义牛顿内摩擦定律求得。

（8）绝对压强、相对压强与真空度 一个标准大气压的压强相当于101325Pa，通常用p_atm表示。若压强大于大气压，则以此压强为计算基准得到的压强称为相对压强，也称为表压强，通常用p_r表示。

若压强小于大气压，则压强低于大气压的值就称为真空度，通常用p_v表示。

如以压强0Pa为计算的基准，则这个压强就称为绝对压强，通常用p_s表示。这三者的关系如下：

说明：在流体力学中，压强都用符号p表示，但一般来说有一个约定，对于液体来说，压强用相对压强；对于气体来说，特别是马赫数大于0.1的流动，应视为可压缩流动，压强用绝对压强。当然，特殊情况应有所说明。

（9）静压、动压和总压 对于静止状态下的流体而言，只有静压强。对于流动状态的流动，有静压强、动压强和总压强之分。

在一条流线上流体质点的机械能是守恒的，这就是伯努里（Bernoulli）方程的物理意义，对于理想流体的不可压缩流动其表达式如下：

式中，p/ρg称为压强水头，是压能项，p为静压强；v²/2g称为速度水头，是动能项；z称为位置水头，是重力势能项，这三项之和就是流体质点的总的机械能；H称为总的水头高。

若把上述等式两边同时乘以ρg，则有：

式中，p称为静压强，简称静压；称为动压强，简称动压，是动能项；ρgH称为总压强，简称总压。

提示：对于不考虑重力的流动，总压就是静压和动压之和。

（10）边界层 对于工程实际中大量出现的大雷诺数问题，应该分成两个区域：外部势流区域和边界层区域。

对于外部势流区域，可以忽略黏性力，因此可以采用理想流体运动理论，解出外部流动，从而知道边界层外部边界上的压力和速度分布，并将其作为边界层流动的外边界条件。

在边界层区域必须考虑黏性力，而且只有考虑了黏性力才能满足黏性流体的黏附条件。边界层虽小，但是物理量在物面上的分布、摩擦阻力及物面附近的流动都和边界层内的流动联系在一起，因此非常重要。

描述边界层内黏性流体运动的是N-S方程，但是由于边界层厚度δ比特征长度小很多，而且x方向速度分量沿法向的变化比切向大得多，所以N-S方程可以在边界层内进行很大的简化，简化后的方程称为普朗特边界层方程，它是处理边界层流动的基本方程。边界层示意图如图1-1所示。

大雷诺数边界层流动的性质：边界层的厚重较物体的特征长度小得多，即δ/L（边界层相对厚度）是一个小量。边界层内黏性力和惯性力同阶。

对于二维平板或楔边界层方程，通过量阶分析得到：

边界条件：在物面y=0上，u=v=0，在y=δ或y→∞时，u=U（x）。

初始条件：当t=t₀时，已知u，v的分布。

对于曲面物体，则应采用贴体曲面坐标系，从而建立相应的边界层方程。

（11）层流和湍流 自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流和湍流。在许多中文文献中，湍流也被译为紊流。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。

对于圆管内流动，当Re≤2300时，管流一定为层流；Re≥8000~12000时，管流一定为湍流；当2300<Re<8000时，流动处于层流与湍流间的过渡区。

因为湍流现象是高度复杂的，所以至今还没有一种方法能够全面、准确地对所有流动问题中的湍流现象进行模拟。在涉及湍流的计算中，都要对湍流模型的模拟能力以及计算所需的系统资源进行综合考虑后，再选择合适的湍流模型进行模拟。

Fluent中采用的湍流模拟方法包括Spalart-Allmaras模型、standard k-epsilon模型、RNG（重整化群）k-epsilon模型、Realizable k-epsilon模型、v2-f模型、RSM（Reynolds Stress Model，雷诺应力模型）和LES（Large Eddy Simulation，大涡模拟）方法。

1.1.2 计算流体力学的发展

CFD是20世纪60年代起伴随计算科学与工程（Computational Science and Engineering, CSE）迅速崛起的一门学科分支，经过半个世纪的迅猛发展，这门学科已经相当成熟了，一个重要的标志就是近几十年来，各种CFD通用软件陆续出现，成为商品化软件，服务于传统的流体力学和流体工程领域，如航空、航天、船舶、水利等。

现代流体力学的研究方法包括理论分析、数值计算和试验研究三个方面。这些方法针对不同的角度进行研究，相互补充。理论分析研究能够表述参数影响形式，为数值计算和试验研究提供有效指导；试验是认识客观现实的有效手段，能够验证理论分析和数值计算的正确性；计算流体力学通过提供模拟真实流动的经济手段来补充理论及试验的空缺。

更重要的是，计算流体力学提供了廉价的模拟、设计和优化工具，以及分析三维复杂流动的工具。在复杂的情况下，测量往往是很困难的，甚至是不可能的，而计算流体力学则能方便地提供全部流场范围的详细信息。

与试验相比，计算流体力学具有对于参数没有什么限制、费用少、流场无干扰的特点。简单来说，计算流体力学所扮演的角色是通过直观地显示计算结果，对流动结构进行仔细的研究。

计算流体力学在数值研究方面大体上沿两个方向发展，一个是在简单的几何外形下，通过数值方法来发现一些基本的物理规律和现象，或者发展更好的计算方法；另一个则为解决工程实际需要，直接通过数值模拟进行预测，为工程设计提供依据，理论地预测出自于数学模型的结果，而不是出自于一个实际的物理模型的结果。计算流体力学是多领域交叉的学科，涉及计算机科学、流体力学、偏微分方程的数学理论、计算几何、数值分析等，这些学科的交叉融合、相互促进和支持，推动了学科的深入发展。

CFD方法是将流场的控制方程用计算数学的方法离散到一系列网格节点上求其离散的数值解的一种方法。控制所有流体流动的基本定律是：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。由它们分别导出连续性方程、动量方程（N-S方程）和能量方程。应用CFD方法进行平台内部空气流场模拟计算时，首先需要选择或者建立过程的基本方程和理论模型，依据的基本原理是流体力学、热力学、传热传质等平衡或守恒定律。

由基本原理出发可以建立质量、动量、能量、湍流特性等守恒方程组，如连续性方程、扩散方程等。这些方程构成联立的非线性偏微分方程组，不能用经典的解析法，只能用数值方法求解。

求解上述方程必须首先给定模型的几何形状和尺寸，确定计算区域并给出恰当的进出口、壁面以及自由面的边界条件，而且还需要适宜的数学模型及包括相应的初值在内的过程方程的完整数学描述。

求解的数值方法主要包括有限差分法（FDM）和有限元（FEM）以及有限分析法（FAM），应用这些方法可以将计算域离散为一系列的网格并建立离散方程组，离散方程的求解是由一组给定的猜测值出发进行迭代推进，直至满足收敛标准。常用的迭代方法有Gauss-Seidel迭代法、TDMA方法、SIP法及LSORC法等。利用上述差分方程及求解方法既可以编写计算程序也可以选用现有的软件实施过程的CFD模拟。

1.1.3 计算流体力学的求解过程

CFD数值模拟一般遵循以下几个步骤。

1）建立所研究问题的物理模型，再将其抽象成为数学、力学模型，之后确定要分析的几何体的空间影响区域。

2）建立整个几何形体与其空间影响区域，即计算区域的CAD模型，将几何体的外表面和整个计算区域进行空间网格划分。网格的稀疏以及网格单元的形状都会对以后的计算产生很大的影响。为保证计算的稳定性和计算效率，不同的算法格式一般对网格的要求也不一样。

3）加入求解所需要的初始条件，入口与出口处的边界条件一般为速度、压力条件。

4）选择适当的算法，设定控制求解过程和精度的一些具体条件，对所需分析的问题进行求解，并且保存数据文件结果。

5）选择合适的后处理器（Post Processor）来读取计算结果文件，分析并且显示出来。

以上这些步骤构成了CFD数值模拟的全过程。其中数学模型的建立是理论研究的课题，一般由理论工作者完成。

1.1.4 数值模拟方法和分类

在运用CFD方法对一些实际问题进行模拟时，常常需要设置工作环境、边界条件和选择算法等，特别是算法的选择，对模拟的效率及其正确性有很大的影响，需要非常重视。而且为了正确设置数值模拟的条件，也有必要了解数值模拟的过程。

随着计算机技术和计算方法的发展，许多复杂的工程问题都可以采用区域离散化的数值计算并借助计算机来得到满足工程要求的数值解。数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要动力之一。

区域离散化就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间，其实施过程是把所计算的区域划分成许多互不重叠的子区域，确定每个子区域的节点位置和该节点所代表的控制体积。节点是需要求解的未知物理量的几何位置、控制体积、应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。

一般把节点看成控制体积的代表。控制体积和子区域并不总是重合的。在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。

常用的离散化方法包括有限差分法、有限单元（简称有限元）法和有限体积法。对这三种方法分别介绍如下。

（1）有限差分法

有限差分法是数值求解中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。这种方法的产生和发展比较早，也比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件复杂，尤其是椭圆型问题时不如有限元法或有限体积法方便。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

（2）有限元法

有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。

有限元求解的速度比有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前常用的商用CFD软件中，只有FIDAP采用的是有限单元法。

提示：有限元法对椭圆型问题有更好的适应性。

（3）有限体积法

有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。

其中的未知数是网格节点上的因变量。子域法加离散，就是有限体积法的基本思想。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。

离散方程的物理意义就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。

有限体积法得出的离散方程要求因变量的积分守恒对任意一组控制集体都得到满足，对整个计算区域自然也得到满足，这是有限体积法吸引人的优点。

有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。

就离散方法而言，有限体积法可视作有线单元法和有限差分法的中间产物。三者各有所长。有限差分法：直观，理论成熟，精度可选，但是不规则区域处理烦琐，虽然网格生成可以使有限差分法应用于不规则区域，但是对于区域的连续性等要求较严。使用有限差分法的好处在于易于编程、易于并行。

有限元法适合处理复杂区域，精度可选，缺点是内存和计算量巨大，并行不如有限差分法和有限体积法直观。有限体积法适用于流体计算，可以应用于不规则网格，适用于并行，但是精度基本上只能是二阶。有限单元法在应力应变、高频电磁场方面的特殊优点正在被人们所重视。

由于Fluent是基于有限体积法的，所以下面将以有限体积法为例介绍数值模拟的基础知识。