重言式[1]

在这一讲里我们先说一说演绎推理的一些虽很简单，但容易被初学者忽略的性质，然后再介绍重言式。

第一，一个演绎推理能否成立，与其前提的次序无关。设A₁，A₂├B成立，当然A₂，A₁├B也成立；反之亦然。在公式序列Γ中，每一公式的次序是无关紧要的。一般地说，A₁，…，A_i-1，A_i，…，A_n├B，当且仅当A₁，…，A_i，A_i-1，…，A_n├B。在这里A₁，…，A_i-1，A_i，…，A_n和A₁，…，A_i，A_i-1，…，A_n是公式的同一序列，而不是两个不同的公式序列。可见对于演绎推理来说，能否得到某个结论是与前提的次序无关的，而只与有哪些前提有关。演绎推理前提的次序是可以任意调动的。在传统逻辑里，三段论的大前提写在前面，小前提写在后面，只是一个习惯的记法而已，没有实质的区别。

第二，演绎推理的前提可以合并。设A₁，A₂├B，根据合取词消去律有A₁∧A₂├A₁，A₂。又根据演绎推理传递律就有A₁∧A₂├B。设A₁∧A₂├B，根据合取词引入律有A₁，A₂├A₁∧A₂。又根据演绎推理传递律就有，A₁，A₂├B。推广来说，A₁，…，A_n├B的充分必要条件是（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n├B。由此可知，对于演绎推理来说，任意多个前提总可以一步步地合并起来，直至转换成只有一个前提的推理。例如，传统逻辑里的三段论的两个前提MAP和SAM就可以合并成一个前提，MAP并且SAM，而结论仍为SAP。[2]

第三，一个演绎推理究竟有哪些前提，是不能含糊的。设A├B，根据肯定前提律和演绎推理传递律就有：Γ，A├B。这表明一个演绎推理可以任意增加前提，而仍然成立。但设Γ，A├B，却不一定会有A├B。这就是说，一个演绎推理减少了前提（注意不是合并了前提），就不一定仍然成立。人们有时思考问题不严密，就会犯这样的错误：认为某一结论可以从某些前提推出来，而事实上要推出该结论还必须增加其他前提。在说明传统逻辑的换位时，有人说SAP有时可推出PAS，例如从“凡偶数都能被2整除”可推出“凡能被2整除的都是偶数”。这种说法的错误就在于把两个前提“凡偶数都能被2整除”，“凡能被2整除的都是偶数”误认为只有一个前提。

第四，任何公理系统、理论体系都要避免逻辑矛盾。在P中有下列证明：

（1）A，┐A，┐B，A├A　　　　　肯定前提律

（2）A，┐A，┐B├┐A　　　　　 肯定前提律

（3）A，┐A，├B　　　　　　　　（1）（2）反证律

（3）是刚证明的推理规则，它是说在命题逻辑中从A与┐A可以推出任意公式B来。正因为这个缘故，以推理规则为一般工具的任何公理系统理论体系，都绝对不能直接或间接包含逻辑矛盾（一个命题及其否定）。在一个公理系统、理论体系中不论是明显地还是隐藏地包含了逻辑矛盾，与该系统、该体系有关的任何命题都可以根据逻辑推论出来。这样，这种系统、体系就毫无理论的和实际的价值可言了。

第五，任何命题都可以当作演绎推理的前提。逻辑从正面告诉人们什么样的命题可以作为结论从给定的前提推出来，也从反面告诉人们什么样的命题不可以作为结论从给定的前提推出来。至于什么样的命题可以作为前提去进行演绎推理，逻辑是不加限制的。不仅假命题，甚至逻辑矛盾也可以作为前提去进行推理，上面我们已经提到这一点。我们有时碰到一种误解，认为并非任何命题（即使是真命题）都可以作为前提来进行演绎推理。比如说，有人误以为两个否定命题（即使是真的）不能作为前提来进行任何推理。其实，从MEP、SEM，只是推不出SAP、SEP、SIP或SOP；至于其他形式的结论，不仅是可以得到的，而且还可以有许多（例如MEP、PEM，并非PIM等等）。

上一讲我们列举出了P和P*的原始推理规则，说明了的P和P*都包括了命题逻辑的全部推理规则。现在要问：在P或P*中从某些前提A₁，…，A_n出发，能不能推出B？即要问：A₁，…，A_n├B在命题逻辑里是否成立？为了回答这个问题，可以利用P和P*的原始推理规则和导出的推理规则来设法证明A₁，…，A_n├B。我们能证明它，就表明这个推理关系成立。但是，我们一时做不出证明来，不见得永远不能证明它。因为证明过程依赖人的聪明和推演的熟练程度。如果我们能够设计出一种方法，根据事先规定好的步骤，经过有穷次操作，能够判明A₁，…，A_n├B是否成立，那就太好了。经过逻辑学家的研究，现在已经在命题逻辑中找到了几种这样的方法。这就叫作命题逻辑的判定问题是可解的。底下我们就来介绍一种常用的判定方法。

设A₁，…，A_n├B成立，根据蕴涵词引入律，A₁，…，A_n-1├A_n→B也成立。几次地运用蕴涵词引入律，就可得到：├A₁→（A₂→…（A_n→B）…）。上一讲已经提到，├C表明C是在命题逻辑中没有前提（或者说有零个前提）也能推出的公式。由于如果├C则Γ├C，因此├C也表明C是在命题逻辑中以任意公式序列Γ为前提都可以推出的公式。我们称一个公式C为重言式，当且仅当├C。根据蕴涵词引入律，任意推理关系A₁，…，A_n├B都可以转换成重言式模式├A₁→（A₂→…（A_n→B）…）。当然，重言式并非只有A→B一种模式，像A↔A，┐A（A∧┐A），A∨┐A等等，也都是重言式模式。

在P*中，我们证明推理规则（A∧B）→C├┤A→（B→C）如下（理由略去）：

先证（A∧B）→C├A→（B→C）。

（1）（A∧B）→C，A，B├A∧B

（2）（A∧B）→C，A，B├A∧B→C

（3）（A∧B）→C，A∧B├C

（4）（A∧B）→C，A，B├C

（5）（A∧B）→C，A├B→C

（6）（A∧B）→C├A→（B→C）

再证A→（B→C）├（A∧B）→C。

（1）A→（B→C），A∧B├A，B

（2）A→（B→C），A∧B├A→（B→C）

（3）A→（B→C），A├B→C

（4）B→C，B├C

（5）A→（B→C），A∧B├C

（6）A→（B→C）├（A∧B）→C

依据上述证明，我们知道├A₁，→（A₂→…（A_n→B）…）当且仅当├（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B。由此可知，如果A₁，…，A_n├B，那么├（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B，即（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B是重言式模式。

设（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B是重言式模式。根据合取词引入律，我们有A₁，A₂，…，A_n├（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n。由于重言式是任何Γ都可以推出来的，特殊地说，就有A₁，A₂，…，A_n├（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B。又根据蕴涵词消去律，（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B，（…（A₁∧An₂）∧…）∧A_n├B成立。再应用演绎推传递律，就有：A₁，…，A_n├B。

因之，A₁，…，A_n├B当且仅当├（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B，即（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B是重言式模式。

现在我们已经可以把判定A₁，A₂，…，A_n├B在命题逻辑中是否成立转换为判定（（…（A₁∧A₂）A…）∧A_n）→B是否为重言式的问题了。

用第二讲所介绍的真值表方法来给公式赋值，可以证明：如果├C（即C是重言式），那么C的值常真；如果C的值常真，那么├C（即C是重言式）。换言之，我们也可以这样定义重言式：任一公式C是重言式当且仅当C的值常真。现在我们知道：A₁，A₂，…，A_n├B成立，当且仅当（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B的值常真。[3]这样我们就找到了一个呆板而可行的办法来判定任一“推理关系”是否属于命题逻辑。

现在来看两个具体的例子。

试问A→B，┐B├┐A是否为命题逻辑的推理规则？我们这样解答：第一步，把诸“前提”用合取词联接起来，得到一个合取式模式；再用蕴涵词把此合取式模式与“结论”联接起来成为一个蕴涵式模式（（A→B）∧┐B）→┐A。第二步，用真值表方法检查此蕴涵式模式是否常真。

从表上得知，（（A→B）∧┐B）→┐A的值常真。所以答案是：A→B，┐B）├┐A是命题逻辑的推现规则。

设有人讨论传统逻辑时问以下推理形式是否正确。

如果p则r，如果q则s，不r并且s，所以，不p并且q。

我们就可以用现代逻辑的知识来回答这个问题。首先，把上述形式抽象为“推理规则”：A→B，C→D，┐B∧D├┐A→C。其次，把此“规则”转换成前件为合取式的蕴涵式模式：（（（A→B）∧（C→D））∧（┐B∧D））→（┐A∧C）。最后，给出此蕴涵式模式的真值表：

从此真值表可以看出，该模式的值不常真，因之，答案是：所问的推理形式不正确。

重言式是一个极重要的概念，根据重言式的性质，我们知道演绎推理的特征是前提都真时，结论必然也真。下面两种误解是经常遇到的，我们要注意。一、演绎推理前提都真，结论未必真。二、演绎推理有假前提，结论必假。

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[1] 原载《逻辑与语言学习》1982年第5期。有删改。

[2] 请读者随时注意区分传统逻辑里的符号、公式与现代逻辑的符号、公式。

[3] 也可以说A₁，A₂，…，A_n├B成立，当且仅当A₁→（A₂→（…→A_n→B）…））的值常真。但使用（（…（A₁∧A₂）∧…）∧A_n）→B更方便。