1.2.2　如何把所有的事情做错：愚蠢的记忆说教

多年以后我才明白科学教师的职责是什么。教育的目的不应当是向学生灌输老师现在知道的一些事实；而是教学生如何思维，让他们在今后用一年就能学会老师两年才能学会的东西。只有这样我们才能一代一代不断进步。当我意识到这些后，我的教学风格从教他们大量一知半解的孤立知识，转变为以足够的深度分析少数问题。

——杰恩斯，《回望未来》

（A Backward Look to the Future）

初等数学课程最糟糕的事情之一是教师们似乎都认为数学课的目的是教授数学知识（至少我上的那些课是这样）。这一点我极为反对。你可能会奇怪，数学课不教数学那该教什么。这个问题很重要，因此让我们一次说清楚，并且用方框强调：^[1]

在数学的世界中没有什么是偶然的，在这里思维可以得到深入和精确的训练，其他科目是无法比拟的。而且，在训练思维的过程中，你偶尔会发现数学正好能描述现实世界中的各种事物。它极为有用，但这其实是思维训练的副产品。这一点很重要，值得用方框强调一下，在别的地方从来没有告诉过你这些：

一旦我们认识到这些，我们就能马上明白两件事情。第一，很显然这样的思维训练很有用，无论你做什么。第二，很显然数学课关注的事情是错的。

让我们来看—个做错事的例子。在代数课中，在教室昏昏欲睡的学生被告知要记住一些公式。例如：

（a+b）²=a²+2ab+b²，

或者更一般的形式，

（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，

但老师教你的只是记忆这些数学知识，而不是教你在需要的时候如何重新发明这些知识。而如果我们能自己发明这些知识，我们就再也不需要记忆这些。

拿一张纸在上面画图，无论是画一栋房子还是一条龙，都不会改变纸的面积。假设我们在思考的过程中，遇到了类似（a+b）²这样的东西。我们可以将其视为一个正方形的面积。哪个正方形？

如果一个正方形的边长为啪啦，则面积可以缩写为（啪啦）²。因此我们可以将（a+b）²视为边长为a+b的正方形的面积。我们可以将这个正方形画出来，就是图1.4。图中间很像一个画歪了的+号，其实是两条直线，分别将两条边分成长为a和b的两段。这样我们就有了研究同一个事物的另一种方式。因为画这些线不会改变正方形的面积，所以

（a+b）²=a²+2ab+b²。

以后你永远都不用再去记这些公式了。我们再来看一下类似的论证能不能让我们发明更复杂的语句：

（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd

只要是两个数相乘，即出现了（啪啦）·（噼哩）这样的形式，就可以视为一条边长为（啪啦）另一条边长为（噼哩）的长方形的面积。我们可以将其画成图，其中（啪啦）是（a+b），（噼哩）是（c+d），就是图1.5。从图中可以看出大长方形的面积正好是那些小长方形的面积之和。因此这幅图的要点可以缩写为语句

（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd

今后你再也不用记忆这个公式了。如果你忘记了，随时可以发明出来。你甚至不用去尝试记忆这些公式。事实上你可以尽量忘记这些！所有数学课都应当将这个刻在黑板上：

因为这里的目的是让你可以自己推理出这些，因此你不应当去记忆这些论证步骤，而是尽量理解这些论证，这样如果你忘记了这些公式（你应当忘记），你就能很快重新发明出来。当你这样做时，你会发现你“记住”了它们正是因为你理解了它们。

要检查你是否掌握了这个具有禅意的“不记就是记”的过程，可以试一下能不能将同样的推理应用到新的地方。如果你能在你从未遇到过的场合应用同样的推理，你就不可能是仅仅记住了这些知识本身。新的场合会像筛子一样滤掉记忆的知识点。不幸地是，在一个急功近利的惩罚失败的环境中（例如学校），在新的场合进行尝试带来的是焦虑，而不是本应当带来的心智愉悦。让我们无视这些，大胆去尝试。

发明东西

1.如果只是记忆而不是理解，我们将不得不记忆无穷多种“方法”。例如

（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，

这条语句很丑陋，正常人不会想去记忆它。如果我们以记忆为目的，而不是学习通用的推理策略，我们就无法走得更远。而如果我们利用前面同样的策略（画画然后观察），就能自己发明出这个丑陋的公式。提示：画一个正方形，将每条边分成3段而不是2段。

2.我们来看3维的情形，试一试前面的思维方式是否还能用得上。我们真的不想去记忆这样丑陋的语句

（a+b）³=a³+3a²b+3b²a+b³。

与其记忆，不如像上面一样发明出来：画画然后观察。提示：画一个立方体，然后将每条边分成两份。观察图1.6也许就能明白。当然，你可以先验证一下上面的公式，毕竟这个问题的图形化要难一些，如果卡住了，就很容易变得沮丧，认为自己理解不了这个思想，虽然其实你可以理解。

虽然我们能利用这种推理发明别人要我们记忆的东西，但还是有两件事情不完美。首先，它没有做到尽量简化（很快我们就会明白这是什么意思）。其次，它没法处理（a+b）⁴或（a+b）¹⁰⁰之类的东西，因为人类思维很难可视化维数超过3的东西。不过这些都有办法补救。

前面的思维方法是将（a+b）⁴之类的东西分成小片，下面我们来看看更简单的方法。用更简单的方法解决更难的问题可能显得有些怪异，但其实这个策略对于所有数学都有用。它是真正解决问题的利器！下面就来看看这个更简单的方法。

假设我们有一张纸，想象随意将它撕成两片。无论我们是否知道两片的面积具体有多大，很显然最初的那张纸的面积就是撕开后的两片的面积之和。通过一遍又一遍应用这个撕开的思想，我们就可以重新发明出那些需要记忆的知识，以及任意维的更复杂的知识（无论我们是否能将其图形化）。我们可以将撕纸的思想写成缩略形式。

假设我们在发明的过程中得到了类似（某个东西）·（a+b）或（a+b）·（某个东西）的东西。它们是一回事，因此论证对两者都有效。与前面类似，我们可以画一个长方形，一条边长为（某个东西），另一条边长为（a+b）。如果我们沿着图1.7中间的线将长方形撕开，就会得到两片，一片面积为a·（某个东西），另一片面积为b·（某个东西）。撕开并不会改变总面积（因为没有扔掉什么），因此可以得到

（a+b）·（某个东西）=a·（某个东西）+b·（某个东西）。

我将这个称为撕东西显然律，不过名字不重要。你可以随便怎么叫。课本上称之为“分配律”，似乎有点自以为是，不过也很好理解。在后面这几段之后，我们就不再需要这个思想的名称了。

与这个显然律类似，所有那些所谓的“代数律”都可以视为简单的图形化思想的缩写。例如乘法可以交换（例如，a·b=b·a）其实是说长方形旋转之后的面积保持不变。这个思想其实很简单，他们称它为“乘法交换律”来吓唬你。但其实只不过是说我们可以随意交换相乘的顺序。比如说，如果（某个东西）在（a+b）的右边，我们可以应用这个撕东西显然律将它换到左边。

如果我们想和课本一样，在写显然律时可以用c替代（某个东西）。这是一样的，但我还是写成（某个东西），这样可以提醒我们无论（某个东西）是什么样，这个定律都成立。如果（某个东西）正好是两个东西加到一起（或者我们故意这样做），我们就可以将（某个东西）写成类似（c+d）的形式，将撕东西显然律写成这样：

（a+b）·（c+d）=a·（c+d）+b·（c+d）。

然后（对右边的各部分）再次应用撕东西显然律，就可以得到

（a+b）·（c+d）=ac+ad+bc+bd，

这正好就是我们在前面通过画图发明的公式，也就是前面要记忆的语句。但既然我们用撕东西显然律将其发明出来了，我们就再也不用记忆了。现在将它永远忘记！

撕东西显然律看似平常，却提供了一个观察高维的窗口。（a+b）³的图形化方法需要我们画一个3维对象（立方体），而且我们很快发现这个方法对（a+b）⁴或更高次幂不再有效，因为我们无法将4维对象图形化。但是！虽然我们可能对（a+b）⁴冗长的代数展开式不感兴趣，我们却对更深刻的问题感兴趣，比如如何沿3维“表面”切割一个4维立方体，由于人类大脑的局限性，我们无法将这些画出来。但虽然我们这样的灵长类无法将其画出来，撕东西显然律却没有这样的局限。因此只要愿意，我们可以将撕东西显然律反复应用于（a+b）⁴之类的东西，而一旦我们彻底解开了它，得到的表达式（也许很长）就能给我们带来对4维几何的一些洞察。例如，如果我们沿3维表面进行分割，得出的表达式的组成部分的数量将等于4维立方体被分割成的部分的数量。我不知道这个如何画，但我知道这是对的！它应当是这样。只需利用这个将长方形撕成两半的平凡事实，我们就能诱使数学告诉我们远远超出人类图形化能力的一些知识。

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[1]为什么用方框标注时用这么大的标题？问得好！开诚布公地说清楚：当你写一本书的时候（我就是从写这本书开始体会到这一点），向你崇敬的事情致敬是很有意思的事情。这本书就是向我最喜欢的课本致敬：杰恩斯身后发表的名著《概率论沉思录》。也许是因为他去世的时候还没有写完——同时也因为他是一个富有激情的家伙——书中有许多杰恩斯古怪而热情的个人感想，以及各种在其他课本中很少看到的东西。一个例子就是附录B中有一个名为《解放黑奴宣言》的方框。我一直很喜欢这一节。现在我自己写书了，因此可以向杰恩斯致以他应得的敬意。