学习任务三 水工混凝土结构极限状态设计表达式
本任务是掌握结构两种极限状态的含义、表现形式及极限状态设计表达式，会计算构件控制截面的荷载效应组合值。
结构是否超过极限状态是判断其是否满足功能要求的标准。结构构件的工作状态可以用作用效应S和结构抗力R之间的关系来描述。工程结构的设计，既要保证其安全可靠，又要做到经济合理。对可求得截面内力的混凝土结构构件，在规定的材料强度和荷载取值条件下，采用在多系数分析的基础上以承载能力极限状态安全系数法进行设计，然后按正常使用极限状态进行验算。
一、结构的功能要求与极限状态
（一）结构的功能要求
结构设计的目的是在现有技术的基础上，用最经济的手段，使所设计的结构在设计使用年限内满足以下3个方面的功能要求。
(1)安全性。安全性是指结构在预定的使用期限内应能承受在正常施工和正常使用条件下可能出现的各种作用(如各种荷载、外加变形、约束变形等)，以及在偶然条件(如强烈地震、校核洪水位等)发生时和发生后，结构仍能保持必需的整体稳定性，即结构仅产生局部的损坏而不致发生连续倒塌。
(2)适用性。适用性是指结构在正常使用条件下，具有良好的工作性能，不发生影响正常使用的过大变形和振幅，不产生让使用者感到不安的过宽的裂缝等。
(3)耐久性。耐久性是指结构在正常维护条件下，能够正常使用到规定的使用年限，而不出现钢筋严重锈蚀、混凝土严重碳化的现象。
安全性、适用性、耐久性构成了结构的可靠性，也称为结构的基本功能要求。结构的可靠性和结构的经济性一般是相互矛盾的。比如，在相同荷载作用下，增大截面尺寸、增加受力钢筋数量、提高材料强度等，均可提高结构的可靠性，但这也同时增加了结构的造价。所以，科学合理的设计是在结构的可靠性和经济性之间寻求最佳方案，使结构达到必要的可靠性，又具有合理的经济指标。
（二）结构的极限状态
结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。结构是否超过极限状态是判断其是否满足功能要求的标准。水工钢筋混凝土结构构件的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两大类。
1.承载能力极限状态
承载能力极限状态是指结构达到最大承载能力，或达到不适于继续承载的变形的极限状态。当结构或其构件出现下列状态之一时，即认为超过了承载能力极限状态。
(1)整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、滑移或漂浮等)。
(2)结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过大的塑性变形而不适于继续承受荷载作用。
(3)整个结构或结构的一部分转变为机动体系。
(4)结构或构件丧失稳定(如柱压屈等)。
结构一旦超过承载能力极限状态，就会发生破坏，造成人身伤亡和重大经济损失。因此，承载能力极限状态应具有较高的可靠度水平。《水工混凝土结构设计规范》要求所有结构和构件都必须按承载能力极限状态进行计算，必要时还应进行结构的抗倾、抗滑和抗浮验算。对需要抗震设防的结构，尚应进行结构的抗震承载力验算或采取抗震构造设防措施。
2.正常使用极限状态
正常使用极限状态是指结构或构件达到影响正常使用或耐久性能的某项规定限值的极限状态。当结构或其构件出现下列状态之一时，即认为超过了正常使用极限状态。
(1)影响正常使用或外观的变形。
(2)影响正常使用或耐久性能的局部损坏(包括裂缝超过允许限值)。
(3)影响正常使用的振动。
(4)影响正常使用的其他特定状态。
当结构或构件超出正常使用极限状态时，虽然会影响结构的使用性、耐久性，或影响人们的心理感受，但后果一般没有超过承载能力极限状态严重，所以正常使用极限状态设计的可靠度水平允许比承载能力极限状态的可靠度水平适当降低。
《水工混凝土结构设计规范》规定，对使用上需要控制变形值的结构构件，应进行变形验算；对使用上要求不出现裂缝的结构构件，应进行混凝土的抗裂验算；对使用上需要控制裂缝宽度的结构构件，应进行裂缝宽度验算。地震等偶然荷载作用时，可不进行变形、抗裂、裂缝宽度等正常使用极限状态验算。
结构设计时，通常先按承载能力极限状态设计结构构件，然后按正常使用极限状态进行验算。
二、结构上的作用与抗力
（一）作用
结构上的作用是指施加在结构上的集中或分布荷载，以及引起结构外加变形或约束变形的原因。前者称为直接作用，如结构自重、水压力、风荷载、土压力等；后者称为间接作用，如混凝土收缩、温度变化、地基变形等。长期以来，工程上习惯将直接作用和间接作用统称为荷载，本书也将作用称为荷载。
荷载按其随时间的变异性和出现的可能性，可分为三大类。
(1)永久荷载。永久荷载是指在设计基准期内量值不随时间变化，或其变化值与平均值相比可忽略不计的荷载，如结构自重、土压力等。《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》(GB 50199—2013)规定：除1级壅水建筑物的设计基准期应采用100年外，其他永久性建筑物均采用50年。永久荷载也称为恒荷载或恒载，用G或g表示。
(2)可变荷载。可变荷载是指在设计基准期内量值随时间变化，且其变化值与平均值相比不可忽略的荷载，如风荷载、浪压力、楼面活荷载等。可变荷载也称为活荷载或活载，用Q或q表示。
(3)偶然荷载。偶然荷载是指在设计基准期内不一定出现，而一旦出现，其量值很大且持续时间很短的荷载，如校核洪水位时的洪水压力、爆炸力、撞击力等，用A表示。
（二）作用效应
施加在结构上的各种作用使结构产生的内力和变形，如弯矩、轴力、剪力、挠度、裂缝宽度等，称为作用效应，用符号S表示。作用效应S是各种作用、结构参数等随机变量的函数。工程上习惯将作用效应称为荷载效应。
（三）抗力
结构抗力是指结构或构件承受作用(荷载)效应的能力，用符号R表示。抗力包括结构承载能力和抵抗变形的能力。结构抗力与材料性能、构件几何参数、计算模式等因素有关。在实际工程中，材料强度的变异、构件几何尺寸的偏差、施工的局部缺陷和计算模式的不定性，都将影响结构抗力R。显然，结构抗力R也是随机变量。
三、水工混凝土结构极限状态设计表达式
以概率理论为基础的极限状态设计方法，简称概率极限状态设计法，又称为近似概率法。这种方法是以结构的失效概率和可靠指标来度量结构的可靠度的。
（一）极限状态方程
结构的极限状态用功能函数(或称为极限状态函数)来描述。设有n个相互独立的随机变量xi=(i=1,2,…,xn)影响结构的可靠度，则结构功能函数Z的一般表达式为
式中 x——基本变量，表示结构上的各种荷载效应和影响结构抗力的各种因素，如荷载、材料性能、几何参数、计算公式精确性等因素。
当
时，则称式(1-13)为“极限状态方程”。
荷载效应S和结构抗力R是功能函数Z的两个基本变量，因荷载效应S和结构抗力R都是随机变量，假设S和R相互独立，且均服从正态分布，则结构的功能函数即为
显而易见，功能函数Z的结果有以下3种可能。
(1)当Z＞0时，R＞S，结构能完成预定功能要求，处于可靠状态。
(2)当Z＜0时，R＜S，结构不能完成预定功能要求，结构处于失效状态，即不可靠状态。
(3)当Z=0时， R=S，结构达到功能要求的限值，处于极限状态，此时Z=R-S=0为极限状态方程。
图1-27 结构所处的状态
结构所处的状态如图1-27所示。
（二）承载能力极限状态设计表达式
《水工混凝土结构设计规范》规定，对可求得截面内力的混凝土结构构件，采用极限状态设计法，在规定的材料强度和荷载取值条件下，采用在多系数分析基础上以安全系数表达的方式进行设计。
承载能力极限状态设计时，应采用下列设计表达式，即
式中 K——承载力安全系数；
S——荷载效应组合设计值；
R——结构构件的截面承载力设计值，由材料的强度设计值及截面尺寸等因素计算得出。
1.承载力安全系数K的确定
承载力安全系数K根据水工建筑物级别和荷载效应组合确定。水工建筑物的级别是根据其所属工程等级及其在工程中的作用和重要性来确定的(表1-11)。荷载效应组合分为基本组合和偶然组合。基本组合是按承载能力极限状态设计时，使用或施工阶段的永久荷载效应与可变荷载效应的组合。偶然组合是按承载能力极限状态设计时，永久荷载效应、可变荷载效应与一种偶然荷载效应的组合。
承载能力极限状态计算时，钢筋混凝土、预应力混凝土及素混凝土结构构件的承载力安全系数K不应小于表1-12的规定。
表1-11 水工建筑物级别
表1-12 混凝土结构构件的承载力安全系数K
注 1.水工建筑物的级别应根据《水利水电工程等级划分及洪水标准》（SL 252—2017）确定。
2.结构在使用、施工、检修期的承载力计算，安全系数K应按表中基本组合取值；对地震及校核洪水位的承载力计算，安全系数K应按表中偶然组合取值。
3.当荷载效应组合由永久荷载控制时，表列安全系数K应增加0.05。
4.当结构的受力情况较为复杂、施工特别困难、荷载不能准确估计、缺乏成熟的设计方法或结构有特殊要求时，承载力安全系数K宜适当提高。
2.荷载效应组合设计值S的确定
（1）基本组合。当永久荷载对结构起不利作用时，荷载效应组合值S由式（1-16）计算,即
当永久荷载对结构起有利作用时，荷载效应组合值S由式(1-17)计算，即
式中 S——荷载效应组合设计值；
SG1k——自重、设备等永久荷载标准值产生的荷载效应；
SG2k——土压力、淤沙压力及围岩压力等永久荷载标准值产生的荷载效应；
SQ1k——一般可变荷载标准值产生的荷载效应；
SQ2k——可控制其不超出规定限值的可变荷载标准值产生的荷载效应。
（2）偶然组合。偶然组合条件下，荷载效应组合值S由式（1-18）计算,即
式中 SAk——偶然荷载标准值产生的荷载效应；
其余符号意义同前。
式(1-18)中，参与组合的某些可变荷载标准值，可根据有关规范作适当折减。
荷载的标准值可按《水工建筑物荷载设计规范》(DL 5077—1997)及《水工建筑物抗震设计规范》(SL 203—97)的规定取用。
荷载效应组合设计值S即为截面内力设计值(M、N、V、T等)。
（三）正常使用极限状态设计表达式
正常使用极限状态验算应按荷载效应的标准组合进行，并采用下列设计表达式，即
式中 Sk(·)——正常使用极限状态的荷载效应标准组合值函数；
c——结构构件达到正常使用要求所规定的变形、裂缝宽度或应力等的限值；
Gk,Qk——永久荷载、可变荷载标准值，按《水工建筑物荷载设计规范》(DL 5077—1997)的规定取用；
fk——材料强度标准值，按项目一中表1-2、表1-3、表1-6确定；
αk——结构构件几何参数的标准值。
需要注意的是，正常使用极限状态验算是在承载能力满足要求的前提下进行的，其可靠度要求低于承载力计算值，材料强度采用标准值，而非设计值。
图1-28 案例1-1图
活动1：荷载效应组合值的计算案例。
【案例1-1】 某3级水工建筑物有一钢筋混凝土简支梁，如图1-28所示，计算跨度l0=4m，净跨ln=3.76m。该简支梁承受的永久荷载(包括自重)标准值gk=10kN／m，承受的可变荷载为跨中集中荷载，其标准值为Qk=30kN。求承载能力极限状态下梁跨中截面的弯矩设计值M和支座剪力设计值V。
解 将永久荷载标准值在跨中截面产生的弯矩记为MG1k，将永久荷载标准值在支座处产生的剪力记为VG1k，将可变荷载标准值在跨中截面产生的弯矩记为MQ1k，将可变荷载标准值在支座处产生的剪力记为VQ1k，则
该梁所受荷载组合为基本组合，且永久荷载对结构起不利作用，则承载能力极限状态下，该梁跨中截面的弯矩设计值M为
该梁支座剪力设计值V为
【案例1-2】 在案例1-1中，求正常使用极限状态下该梁跨中截面按荷载标准值计算的Mk和支座截面按荷载标准值计算的Vk。
解 该梁跨中截面按荷载标准值计算的Mk为
该梁支座截面按荷载标准值计算的Vk为
知识技能训练
一、填空题
1.水工混凝土结构构件的极限状态分为____和____两大类。
2.正常使用极限状态主要考虑结构的____和____功能。
3.结构上的荷载分为____、____、____。
4.结构抗力与____、____、____等因素有关。
二、选择题
1.建筑结构应满足的功能要求包括()。
A.经济、适用、美观
B.可靠性、稳定性、耐久性
C.安全、舒适、经济
D.安全性、适用性、耐久性
2.钢筋混凝土结构的抗力主要与()有关。
A.材料强度和截面尺寸
B.材料强度
C.材料强度和荷载
D.荷载
3.地震力属于()。
A.永久荷载
B.可变荷载
C.偶然荷载
D.静态荷载
4.荷载效应S和结构抗力R为两个独立的随机变量，功能函数Z=R-S，下列叙述()是正确的。
A.Z＞0，结构失效
B.Z＞0，结构安全
C.Z＜0，结构安全
D.Z=0，结构失效
5.承载能力极限状态设计不需要考虑下列()组合。
A.基本组合
B.偶然组合
C.长期组合
D.A+B
6.承载能力极限状态设计中，材料强度的取值应为()。
A.设计值
B.标准值
C.平均值
D.以上均可
7.在正常使用极限状态验算中，材料强度的取值应为()。
A.设计值
B.标准值
C.平均值
D.以上均可
8.下列作用中属于直接作用的有()。
A.永久作用
B.偶然作用
C.温度变化
D.地基沉降
9.当结构或结构构件出现下列（）状态时，即可认为超过了其承载能力极限状态。
A.因过度的塑性变形而不适于继续承载
B.结构转变为机动体系
C.影响结构耐久性的局部损坏
D.结构或结构的一部分作为刚体失去平衡
10.下列破坏现象中，()是不满足正常使用极限状态的问题。
A.雨篷发生倾覆破坏
B.挡土墙发生滑移现象
C.屋面板变形过大造成屋面积水
D.受力筋锈蚀
三、问答题
1.结构应满足哪些功能要求?
2.何谓极限状态?水工混凝土结构的极限状态分为哪两类?
3.结构超过承载能力极限状态的表现形式有哪些?
4.结构超过正常使用极限状态的表现形式有哪些?
5.何谓作用效应?何谓结构抗力?
6.结构的功能函数表达式是什么?当功能函数Z＞0、Z=0、Z＜0时各表示什么状态?
7.在正常使用极限状态验算中，为什么材料强度采用标准值?
四、计算题
1.某3级水工建筑物的一钢筋混凝土简支梁，截面尺寸为300mm×600mm，计算跨度l0=5m，净跨ln=4.76m。该梁承受的永久荷载标准值为16kN／m(包括自重)，可变荷载标准值为8kN／m。求承载能力极限状态下梁跨中截面的弯矩设计值M和支座处剪力设计值V。
2.条件同题1，求正常使用极限状态下梁跨中截面按荷载标准值计算的Mk和支座截面按荷载标准值计算的Vk。