3.7　考虑摩擦的平衡

在前面各节的研究中，均假设物体间相互接触表面绝对光滑，而忽略了摩擦作用。事实上，摩擦是客观存在的，只是在某些情况下，摩擦对物体运动状态的影响较小，因而略去。但在另一些情况下，摩擦却是主要因素，直接决定着物体所处的运动状态，必须加以考虑。例如梯子斜靠在墙面上静止不动，摩擦力是使其保持静止的决定因素；皮带轮传动中，主动轮和从动轮之间运动的传递就是通过皮带与轮之间的摩擦作用实现的。可见在这种情况下必须考虑摩擦的作用。

摩擦是一种极其复杂的物理—力学现象，在日常生活和工程实际中普遍存在。研究摩擦现象，熟悉和掌握它的规律，具有很大的实际意义。从摩擦在阻碍运动、消耗能量、磨损机件等方面而言，摩擦是不利的，我们应采用润滑等方法减少摩擦。但另一方面，我们也常常利用摩擦规律工作，如摩擦轮传动、制动车轮等。关于摩擦机理及由此引出的磨损、润滑的理论研究已经形成一门专门的学科——摩擦学。

当两物体的接触表面不光滑，并且有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触表面上产生阻止相对滑动的作用称为滑动摩擦。滑动摩擦作用可以看成一种特殊的约束形式，其约束反力就是阻止相对滑动的阻力称为滑动摩擦力。滑动摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动或相对滑动的趋势方向相反。它的大小则根据主动力及物体运动状态可分为三种情况：静滑动摩擦力、最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力，分别由平衡方程、静摩擦定律和动摩擦定律求出。

3.7.1　静滑动摩擦力

静滑动摩擦力的性质及其定律可通过一个简单的实验获得。

自重为W的物块放在粗糙的水平面上，该物块在重力W和法向反力FN的作用下处于平衡状态，如图3-17（a）所示，此时物块无滑动趋势，摩擦力为零。现在该物块上作用一可逐渐增大的水平推力P，当力P由零逐渐增大时，物块仍保持静止状态。显然物块与地面接触面上除作用法向反力FN外，还有一个阻碍物块沿水平面向右滑动的切向反力，此力即为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，用Fs表示，如图3-17（b）所示。可见，静摩擦力就是接触面对物体作用的切向约束反力，它的方向与物体相对滑动趋势相反，大小可由平衡方程求得，即

由上式可知，静摩擦力随水平力P的增大而增大，与一般的约束反力具有相同的性质。

当水平推力P继续增大时，超过某一极限时，物块就会沿水平面产生滑动。当水平推力P达到这一极限值时，物块处于将要滑动但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要水平推力P再增加一点儿，物块即开始滑动。如果研究物块处于临界平衡状态时的受力，可以发现地面提供的静摩擦力已经达到了极限值，称为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果再继续增大力P，地面提供的静摩擦力不能再随之增大，物块将失去平衡而滑动。可见静摩擦力与一般的约束反力不同，它不能随主动力的增大而无限制地增大，这就是静摩擦力的特点。

大量实验证明，最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，其大小与两物体间接触面的法向反力FN的大小成正比，即

式中fs是比例常数，称为静摩擦因数，它是一个无量纲量。式（3-21）称为静摩擦定律或库仑定律。

静摩擦因数的数值由实验测定，它与接触表面的材料以及粗糙程度、温度、湿度等有关，与接触面积大小无关。

静摩擦因数的参考数值可在工程手册中查到，表3-1中列出了部分常用材料的静摩擦因数。必须指出，影响静摩擦因数的因素很复杂，需要比较精确的数值时，应在具体条件下实验测取。式（3-21）也是近似的，它远没有反映出静滑动摩擦的复杂物理规律，但由于公式简单，计算方便，且能满足一般工程精度需要，故在工程实际中被广泛地应用。

综上所述，静滑动摩擦力的大小可由平衡条件确定，并在一个确定的范围内变化，即

极限值Fmax由静摩擦定律确定。

3.7.2　动滑动摩擦力

当静滑动摩擦力达到极限值时，若再继续增大水平推力P，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触面间仍存在阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称为动摩擦力，记为Fm。

实验表明，动摩擦力的方向与两物体接触面间的相对速度方向相反，其大小与法向反力FN的大小成正比，即

式中f称为动滑动摩擦因数，它与接触物体的材料、表面状况及两接触物体的相对运动速度有关。多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似认为是一个常数，动滑动摩擦因数略小于静摩擦因数。式（3-23）称为动摩擦定律。

滑动摩擦力Fm的大小与水平推力P的大小关系及确定方法如图3-18所示。

3.7.3　摩擦角

将重物静止放置在粗糙的水平面上，接触面对物体的约束反力包括两个分量，即法向反力FN和静摩擦力Fs，其合力FR＝FN＋Fs称为接触面的全约束反力。它的作用线与接触面的公法线成一偏角φ，如图3-19（a）所示。当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值Fmax，偏角φ也达到最大值φm。全约束反力与法线夹角的最大值φm称为摩擦角。于是有下面的关系

即摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，摩擦角和静摩擦因数都是表示材料表面性质的物理量。

当物体的运动趋势方向改变时，对应于每一个方向都有一个全约束反力的极限位置，这些全约束反力的作用线组成一个锥面，称为摩擦锥。如果各个方向的摩擦因数都相同，那么这个锥面就是一个顶角为2φm的圆锥面，如图3-19（b）所示。

3.7.4　自锁现象

物块平衡时，静摩擦力在零到最大值Fmax之间，而此时全约束反力和法线间的夹角φ也在零和摩擦角φm之间，即

由于静摩擦力不可能超过最大值，因此，全约束反力作用线必定在摩擦角范围内，这是由摩擦的性质决定的。可见：

（1）若作用于物块上的主动力，其合力R的作用线在摩擦角范围内，则无论这个力多大，物块总能保持静止。这种现象称为自锁。因为，此时主动力的合力R和全约束反力FR必能满足二力平衡条件，如图3-20（a）所示。

（2）若作用于物块的主动力，其合力R的作用线在摩擦角范围外，则无论这个力多小，物块一定会滑动起来。因为，此时接触面的全约束反力FR和主动力的合力R不能满足二力平衡条件，如图3-20（b）所示。

在工程实际中，常常要利用或避免自锁现象，如千斤顶、夹具和螺钉等，只有自锁才能保证不松脱、转动；而在传动装置中，则不应发生自锁，如螺纹丝杠传动时，设计时就应保证不自锁。

如图3-21所示，螺纹和斜面的自锁条件为α≤φm。请读者自行讨论。

3.7.5　考虑摩擦的平衡问题

考虑摩擦的平衡问题的解法和不考虑摩擦时基本相同，只是在分析物体受力情况时，必须画上摩擦力。由于摩擦力不同于一般的约束反力，有其自身的特点，即物体平衡时Fs≤Fmax；在平衡的临界状态下，Fs＝Fmax。并且摩擦力的方向与运动趋势方向相反，在运动趋势已知时，摩擦力方向属已知条件，不能假定；在运动趋势方向未知时，应首先假设运动趋势方向。由于有摩擦力，增加了未知力的个数，在求解时除平衡方程外还需增加补充方程Fs≤Fmax＝fFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同。而且由于有不等式方程，解方程的结果亦是一个范围，而不是一个确定的值。

有时工程中的问题只需要分析平衡的临界状态，此时静摩擦力等于最大静摩擦力，补充方程只取等号。有时在分析平衡范围等问题时，为了计算方便，避开解不等式方程，也先求临界平衡状态下的结果，再分析、讨论解的平衡范围。

有摩擦的平衡问题一般可分为以下几种类型：

（1）已知作用在物体上的主动力，判断物体是否处于平衡状态，确定摩擦力的大小和方向。

（2）分析平衡的临界状态。

（3）求解物体的平衡范围。

【例3-9】　一物块重P＝1000N，放在倾角30°的斜面上，斜面与物块间静摩擦因数为fs＝0.25，动摩擦因数f＝0.18。物块受水平推力Q＝300N作用，如图3-22（a）所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。

解：此题是判断物体是否静止的问题。解此类问题时，可先假设物体静止，应用平衡方程求得物体的约束反力和摩擦力，将求得的摩擦力与最大静摩擦力比较，若满足Fs≤Fmax，则物体静止；反之，若Fs＞Fmax，接触面不可能提供如此大的静摩擦力以维持平衡，物体必运动。

取物块为研究对象。假设物块静止在斜面上，且具有向上滑动的趋势，则摩擦力沿斜面向下。受力如图3-22（a）所示。列平衡方程得

代入数值，解得

摩擦力Fs是负值，表明平衡时摩擦力的方向应沿斜面向上，即物体应具有下滑趋势。此时最大静摩擦力为

上述计算表明，，物块将静止在斜面上。此时摩擦力为240.2N，方向沿斜面向上。

本题也可用摩擦角和自锁的概念来分析。如图3-22（b）所示。斜面的摩擦角为

主动力P和Q的合力与斜面法线的夹角为

α＜φm，可见主动力的合力在摩擦角范围内，物块将静止在斜面上。此时，摩擦力大小为

此题中如果物块与接触面间的静摩擦因数fs＝0.2，那么最大静摩擦力等于203.2N，它小于物块在斜面上静止应有的摩擦阻力240.2N。这说明物体不可能静止在斜面，而是沿斜面下滑，则此时的摩擦力

【例3-10】　制动装置如图3-23（a）所示，已知鼓轮与制动块之间的摩擦因数为f，作用在鼓轮上的主动力矩为M，其他尺寸如图所示。求制动鼓轮所需的最小力P。

解：首先取鼓轮为研究对象，受力如图3-23（b）所示。因鼓轮处于平衡状态，所以

解得

根据题意，此时摩擦力应为最大值，即

由此得

其次取手柄与制动块为研究对象，受力如图3-23（c）所示。列平衡方程得

解得

从上式可以看出，设计这种制动器时，应尽可能使b小些，而R、a和f则应大些，以使P尽可能地小。

本例题图中鼓轮上主动力矩方向为顺时针方向。如果为逆时针方向，结果又如何，对设计参数又有何要求，请读者自行分析。