4.2　几何组成分析的基本概念

4.2.1　刚片

几何形状不变的平面物体，称为刚片。在几何构造分析中，由于不考虑材料的弹性变形，故所有平面杆件均可视为刚片。例如，一个杆件、一根梁或柱是一个刚片；同样，支承体系的基础也可看成一个刚片。

4.2.2　自由度

一个体系的自由度，是指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。图4-2（a）所示的平面内一个动点A，确定其位置要用两个坐标x和y确定，所以平面内一个点的自由度等于2。图4-2（b）所示的一个刚片在平面内自由运动时，它的位置由其上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线的倾角φ来完全确定。因此，平面内一刚片的自由度等于3。

4.2.3　约束

约束是指限制杆件或体系运动的各种装置。对刚片加以约束，它的自由度一般会减少，凡是能减少一个自由度的装置称为一个约束或一个联系。常见的约束有链杆和铰。

（1）链杆。如图4-3（a）所示，用一根链杆将刚片与基础相连，则刚片不能沿链杆方向移动，但可沿垂直链杆方向移动和绕A点转动，刚片的自由度由3减少为2，因而减少了1个自由度，故一根链杆为一个约束。

（2）铰。连接两个刚片的铰称为单铰，如图4-3（b）所示。未连接前，刚片Ⅰ、Ⅱ共有6个自由度，加单铰后，刚片Ⅰ仍有3个自由度，在刚片Ⅰ的位置被确定后，刚片Ⅱ只能绕A点作相对转动，此时，由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内的自由度为4，因而减少了2个自由度。由此可见，一个单铰相当于两个约束，也相当于两根相交链杆的约束作用，如图4-3（c）所示。

连接3个或3个以上的刚片的铰称为复铰，如图4-3（d）所示。3个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在未连接前，体系有9个自由度，用铰A连接后，若刚片Ⅰ的位置被固定，则刚片Ⅱ和Ⅲ都只能作绕A点的转动，此时体系有5个自由度，减少了4个自由度。故连接三个刚片的复铰相当于两个单铰的作用。

当n个刚片用一个复铰连接在一起时，从减少自由度的观点来看，连接n个刚片的复铰可以看作n-1个单铰。

4.2.4　多余约束

在一个体系中增加（去掉）一个约束，体系的自由度并不因此而减少（增加），则该约束称为多余约束。例如平面内一个点A有2个自由度，如果用两根不共线的链杆1和2将点A与基础相连接[图4-4（a）]，则点A减少两个自由度，即被固定。如果用三根不共线的链杆将点A与基础相连接[图4-4（b）]，实际上仍只减少两个自由度。故这三根链杆中有一根是多余约束。非多余约束（必要约束）对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。

4.2.5　虚铰

同时连接两个刚片的两根链杆延长线的交点，称为虚铰。如图4-5（a）所示的两刚片Ⅰ、Ⅱ用两根链杆相连，若把刚片Ⅱ看作基础，则刚片Ⅰ只能绕两杆的延长线的交点O转动，因此，两个刚片可看成是在点O处用铰相连，这个铰称为虚铰。另外，从瞬时微小运动来看，这个转动中心会随着刚片作微小转动而改变，故这个铰也称为瞬铰。相对于虚铰而言，前述的单铰和复铰则称为实铰。

图4-5（b）、图4-5（c）为虚铰的两种特殊形式。图4-5（b）中两个刚片通过两根链杆相连，其交点在O处，但O处并没有真正意义上的铰，故交点O为虚铰；图4-5（c）中两个刚片Ⅰ、Ⅱ用两根相互平行的链杆相连，这时可视为这两根链杆的延长线在无穷远处相交，虚铰在无穷远处，两刚片沿无穷大的半径做相对运动。