3.3　一维波动方程的求解

3.3.1　行波理论

1.上行波与下行波

方程式（3.2.8）的通解形式如下：

该通解由两个行波组成，其传播速度都为c，但传播方向相反。波沿特征线（x±ct）传播，而且f和g的值是常数，可由边界条件确定。

由以上通解可导出质点速度v和轴力F的方程：

式中：vd和Fd为x-ct的函数；vu和Fu为x＋ct的函数；vd、vu分别为下行波速度和上行波速度；Fd、Fu分别为下行力波和上行力波。

在一般情况下，桩身任意截面上的速度和轴力都是上行波和下行波叠加的结果。

从式（3.3.2）和式（3.3.3），可知

式中：Z为杆件的阻抗，定义为杆件上任意点处的受力与该点的运动速度之比，

2.不同边界条件下的特解

在长为L的桩上作用一半弧形脉冲荷载（采用脉冲荷载是因为任意一时间荷载很容易用一系列脉冲来描述）。如前所述，一压缩波开始向下传播，注意此时仅有两特征线之间的桩段以速度v＝F/Z运动，如图3.3.1（a）所示，而桩身其余部分没有运动。当经过t＝L/c波前到达桩底，产生了反射波。反射波的类型取决于桩底的约束情况，自由或固定。

当桩底约束为自由时，在任何时刻t，其边界条件是桩底力为零（在自由桩底，没有阻力），如图3.3.1（b）所示，即F（x＝L，t）＝0。因此

在t＝L/c时，应力波到达自由端后，将产生一个符号相反，幅值相等的反射波，即反射拉力波。在深度与时间坐标的小三角区中，由于波的叠加，使得桩中力为零。上行波和下行波的速度分别为

由上式可知，上行波和下行波的速度等值且同向。在重叠区域，使得质点运动速度增加一倍。

再经过t＝L/c，上行波到达桩顶，产生另一个反射波，该下行波为压缩波。平均速度为

当桩底约束为固定时（图3.3.2），在任意时刻t，其边界条件是桩底的位移和速度均为零，即v（x＝L，t）＝0。

因此，当应力波到达固定端后，将产生一个与入射波相同的反射波（大小相等，方向相同）。即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产生拉力反射波。在波的叠加三角区域，速度为零，而轴力增加一倍。再经过t＝L/c，上行波到达自由端桩顶，产生另一个反射波，该下行波为拉力波。由桩顶的位移和速度可以得到桩是以基频f和周期T在振动，即

3.桩截面变化时的特解

桩的自由端和固定端是桩阻抗不连续的特殊情况。一般情况如图3.3.3所示。在变截面处两侧，轴力F和速度v分别相等。即

由式（3.3.13）和式（3.3.14）可得

如果知道某些特殊点任意时刻的值，即已知第1部分中下行波和第2部分中上行波，由式（3.3.13）和式（3.3.14）可以计算第2部分中下行波和第1部分中上行波：

例如，桩的横截面积减小一半（Z1＝2Z2），则式（3.3.16）和式（3.3.17）可化为

图3.3.4给出了桩变截面处应力波的入射、反射及透射情况。

3.3.2　有限差分解

20世纪60年代初期，随着大型计算机的出现和发展，用数值方法求解波动方程已成为可能，Smith 提出了一个描述桩锤-桩-土系统的离散数学模型，借助电子计算机，用有限差分法求解得到了相应的解答，并给出了土和系统单元参数的建议值，创造性地用波动理论模拟打桩过程。

波动方程的有限差分解法是将整个打桩系统（桩锤、垫层、桩帽、桩及桩周土等）在空间上离散成为若干个由刚性质量块和无重量的弹簧组成的单元，如图3.3.5所示。

Δl代表单元的长度，在计算过程中将一次锤击的历时分割成若干个间隔Δt的时间段，Δt的选取应相当短，使得弹性应力波在一个单元中的传播时间小于Δt。因而，单元的运动在Δt时间间隔内可以近似地看作等速运动。若以tcr为临界时间间隔，则

应使Δt＜tcr，一般取

因此，任一桩单元i［图3.3.5（d）］在时刻t时的平衡方程式为

式中：EP（i）、EP（i-1）分别为桩单元i、单元i-1的弹簧常数；u（i，t-Δt）为t-Δt时刻单元i的位移；D（i，t-Δt）、D（i-1，t-Δt）分别为桩单元i和单元i-1在时刻t-Δt的弹簧压缩量；R（i，t）为桩单元i所受的土的总阻力，外露单元此项设为零；Wp（i）为桩单元i的重量。

采用向后差分可得

则由式（3.3.22）和式（3.3.23）可得单元i的位移：

因此，单元i在t时刻的变形为

单元i在t时刻的受力为

单元i的在t时刻的速度为

v（i，t）被用于计算下一个Δt的位移，即

令计算的初始时间为打桩锤锤心撞击垫层的接触瞬间，即t＝0。由于在初始时刻之前，整个桩-土系统处于静止状态。故在t＝0时，桩单元的弹簧力、土的总阻力，及其位移、速度和加速度均是零。仅以桩锤锤心的锤击初速度作为已知的边界条件，开始第一个时间间隔Δt 内应力波在桩锤-桩-土系统内传播的计算。桩锤锤心在时间Δt内产生的位移即为锤心弹簧的变形量，从而可以计算作用在下一个单元上的外力。该力使得锤心速度减小，同时锤心下面的单元产生加速度及获得新的速度。如此在每个Δt时间段内逐个单元地进行计算迭代，直到满足以下的两个条件时就可以结束运算：

（1）桩单元的位移不再增加。

（2）各单元的速度均已为零或者为负值。

有些情况是以迭代运算进行所预定的次数而自动停止，通过上述的运算即可以得到打桩过程中，桩在一次锤击中的性状。