工作任务二 地面点位的确定

测量的主要任务是测定（测图）和测设（放样），其实质是确定点位（地面点的空间位置）。由于测量工作都是在地球表面上进行的，所以在讨论如何确定地面点位之前先介绍关于地球形状和大小的知识。

一、地球的形状和大小

地球表面是一个极不规则的曲面，有海拔达8844.43m的珠穆朗玛峰和海拔为-11022m的位于太平洋西部最深的马里亚纳海沟，最高与最低两点相差近20km。虽然地球表面起伏如此之大，但与地球相比还是微不足道的。因此地球是一个南北极稍扁、赤道稍长，平均半径约为6371km的椭球。陆地面积约占29%，而海洋面积约占71%，所以可以将地球总的形状近似看作是一个被海水包围的球体。

从总体上来说，海水面是地球上最广大的天然水准面。设想把平均海水面扩展，延伸到大陆下面，形成一个包围整个地球的曲面，则称这个水准面为大地水准面，它所包围的形体称为大地体。由于大地水准面的形状和大地体的大小均接近地球自然表面的形状和大小，并且它的位置是比较稳定的，因此，选取大地水准面作为测量外业的基准面，而与其相垂直的铅垂线则是测量外业的基准线。

像平静的湖泊水面那样处于静止状态的水面，即表示一个水准面。水准面必然处处与重力方向垂直。在地球引力起作用的空间范围内，通过任何高度的点都有一个水准面，因此水准面有无穷个。水准面是受地球重力影响而形成的，是一个处处与重力方向垂直的连续曲面，并且是一个重力场的等位面，即处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。与水准面相切的平面称为水平面。

如图1-1所示，大地水准面虽然比地球的自然表面要规则得多，且是测量成果整理和计算最适合的基准面，但由于地球内部质量分布不均匀，引起铅垂线的方向产生不规则的变化，致使大地水准面成为一个复杂的曲面，能用一个数学公式表示出来，无法在这个曲面上进行测量数据处理。为了使用方便，通常用一个非常接近于大地水准面并可用数学公式表示的几何形体来代替地球的形状作为测量计算工作的基准面，这就是参考椭球体。参考椭球体是测量计算工作的基准面。

参考椭球体是一个椭圆绕其短轴旋转而成的形体，故参考椭球体又称为旋转椭球体，旋转椭球体的大小及形状由长半径a（或短半径b）和曲率α所决定。我国目前采用的旋转椭球体元素值是IUGG 1975年大会推荐的参数，其长半径a=6378140m，曲率α=（a-b）/a=1∶298.257。同时，选择陕西省泾阳县永乐镇某点为大地原点，并进行了大地定位，从而建立起全国统一的大地坐标系，这就是现在使用的“1980年国家大地坐标系”（表1-1）。

由于地球的曲率很小，所以在一般测量工作中，可把地球看作一个圆球，其平均半径为6371km。

二、地面点平面位置的确定

一个点的位置需用三个独立的量来确定。在测量工作中，这三个量通常用该点在参考椭球体上的铅垂投影位置和该点沿投影方向到大地水准面的距离来表示。其中，前者由两个量构成，称为坐标；后者由一个量构成，称为高程。也就是说，用地面点的坐标和高程来确定其位置。

1.地理坐标

地理坐标指用“大地经度L”和“大地纬度B”来表示地面点在球面上的位置。如图1-2所示，N、S分别为地球的北极和南极，NS为地球的短轴，又称地轴。过地面上任意一点的铅垂线与地轴NS所组成的平面，称为该点的子午面。1968年以前，将通过英国格林尼治天文台旧址的子午面称为首子午面（即起始子午面）。子午面与球面的交线，称为子午线或经线。地面上任意一点P的子午面与起始子午面之间的夹角，称为该点的大地经度，通常用符号L表示。大地经度自起始子午面起向东0°～180°称为东经，向西0°～180°称为西经。由于极移的影响和格林尼治天文台迁址，1968年国际时间局改用经过国际协议原点（CIO）和原格林尼治天文台的经线延伸交于赤道圈的一点作为经度的零点。1977年我国决定采用过该经度零点与极原点1968.0（1968年1月1日零时瞬间）的子午线作为起始子午线。我国1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系就是分别依据两个不同的椭球建立的大地坐标系。

垂直于地轴并通过球心O的平面称为赤道面，赤道面与椭球面的交线称为赤道。垂直于地轴且平行于赤道的平面与球面的交线称为纬线。地面上任意一点P的铅垂面与赤道面之间的夹角，称为该点的大地纬度，通常用符号B表示。大地纬度自赤道起向北0°～90°称为北纬，向南0°～90°称为南纬。如北京市中心的地理坐标为东经116°24′，北纬39°54′。

2.高斯平面直角坐标系

高斯投影是正形投影，具有中央子午线保持不变形的特点。

（1）高斯投影的概念。当测区范围较大时，要建立平面坐标系，必须考虑地球曲率的影响，为了解决球面与平面这对矛盾，则必须采用地图投影的方法将球面上的大地坐标转换为平面直角坐标，目前我国采用的是高斯投影。从几何意义上看，高斯投影就是假设一个椭圆柱横套在地球椭球体外并与椭球面上的某一条子午线相切，这条相切的子午线称为中央子午线。假想在椭球体中心放置一个光源，通过光线将椭球面上一定范围内的物象映射到椭圆柱的内表面，然后将椭圆柱面沿一条母线剪开并展成平面，即获得投影后的平面图形，如图1-3所示。

高斯投影的经纬线图形有以下特点。

1）投影后的中央子午线为直线，无长度变化。其余的经线投影为凹向中央子午线的对称曲线，长度较球面上的相应经线略长。

2）赤道的投影是一条直线，并与中央子午线正交。其余的纬线投影为凸向赤道的曲线。

3）经纬线投影后仍然保持相互垂直的关系，说明投影后的角度无变形。

高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。为了对变形加以控制，缩小变形带来的影响，测量中采用限制投影区域的办法，即将投影区域限制在中央子午线两侧一定的范围，这就是所谓的分带投影。投影带一般分为6°带和3°带两种，如图1-4所示。

6°投影带是从英国格林尼治起始子午线开始，自西向东，每隔经差6°分为一带，将地球分成60个带，其编号分别为1、2、…、60。每带的中央子午线经度可用下式计算

式中 n——6°带的带号。

已知某点大地经度L，可按下式计算该点所属的带号

3°投影带是在6°投影带的基础上划分的。每隔3°为一带，共120带，其中央子午线在奇数带时与6°带中央子午线重合，每带的中央子午线经度可用下式计算

式中 n′——3°带的带号。

我国领土幅员辽阔，位于东经72°～136°，共包括了13～23共11个6°投影带。24～45共22个3°投影带。

（2）高斯平面直角坐标系的建立。通过高斯投影，将中央子午线的投影作为纵坐标轴，用x表示，向北为正。将赤道的投影作为横坐标轴，用y表示，向东为正。两轴的交点作为坐标原点，由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系，如图1-5所示。

对应于每一个投影带，就有一个独立的高斯平面直角坐标系，区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。地面点的平面位置，可用高斯平面直角坐标x、y来表示。由于我国位于北半球，x坐标均为正值，y坐标则有正有负，如图1-5（a）所示。为了避免y坐标出现负值，将每带的坐标原点向西移500km，如图1-5（b）所示，规定在横坐标值前冠以投影带带号。假定A、B两点位于第20带，自然坐标为

y_A=+136780m，y_B=-272440m

纵轴西移后的坐标为

y_A=500000+136780=636780m，y_B=500000-272440=227560m

冠以投影带带号后通用坐标为

y_A=20636780m，y_B=20227560m

（3）独立平面直角坐标。用大地坐标表示大范围内地球表面的点位是很方便的，在小区域内进行测量时，用经纬度表示点的平面位置则十分不便。经过估算，在面积为300km²的多边形范围内，可以忽略地球曲率影响而建立独立的平面直角坐标系，当测量精度要求较低时，这个范围还可以扩大数倍。把局部椭球面看作一个水平面，在这样的水平面上建立起平面直角坐标系，则点的平面位置就可用该点在平面直角坐标系中的直角坐标（x，y）来表示。

在测量学中，平面直角坐标系的纵横坐标安排与数学中常用的笛卡儿坐标系不同，它以南北方向为x轴，向北为正；而以东西方向为y轴，向东为正。象限顺序按顺时针方向排列，如图1-6所示。这种安排与笛卡儿坐标系的坐标轴和象限顺序正好相反。这是因为在测量中南北方向是最重要的基本方向，直线的方向也都是从正北方向开始按顺时针方向计量的，但这种改变并不影响三角函数的应用。

三、地面点的高程

高程是确定地面点高低位置的基本要素，分为绝对高程和相对高程两种。

四、大地坐标系和地心坐标系

1.大地坐标系

大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示。大地坐标系的确立包括选择一个椭球、对椭球进行定位和确定大地起算数据。一个形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球称为参考椭球。参考椭球一旦确定，则标志着大地坐标系已经建立。

（1）1954年北京坐标系。1949年新中国成立后，很长一段时间采用1954年北京坐标系。它与苏联1942年建立的以普尔科夫天文台为原点的大地坐标系统相联系，相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。到20世纪80年代初，我国已基本完成了天文大地测量，经计算表明，1954年北京坐标系统普遍低于我国的大地水准面，平均误差为29m左右。

（2）1980年国家大地坐标系。1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系，确立了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理学联合会（IUGG）第16届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60km，故也称1980年西安坐标系，又称西安大地原点。基准面采用1985国家高程基准。

2.地心坐标系

以地球质心作为坐标原点的坐标系称为地心坐标系，即要求椭球体的中心与地心重合。人造地球卫星绕地球运行时，轨道平面时时通过地球的质心，同样对于远程武器和各种宇宙飞行器的跟踪观测也是以地球的质心作为坐标系的原点，参考坐标系已不能满足精确推算轨道与跟踪观测的要求。因此建立精确的地心坐标系对于卫星大地测量、全球性导航和地球动态研究等都具有重要意义。

WGS-84坐标系是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH）1984.0定义的协议地极（CTP）方向，X轴指向BIH1984.0的协议子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系。这是一个国际协议地球参考系统（ITRS），是目前国际上统一采用的大地坐标系。

五、用水平面代替水准面的限度

在实际测量工作中，在测区面积不太大的情况下，为简化一些复杂的投影计算，可用水平面代替水准面。用水平面代替水准面时应使投影后产生的误差不超过一定的限度，则在这个小范围内用水平面代替水准面是合理的。以下讨论用水平面代替水准面对距离和高程的影响，以便明确可以代替的范围。

1.对水平距离的影响

如图1-7所示，水准面P与水平面P′ 在a点相切，ab为a、b两点在水准面上的一段圆弧，长度为D，所对的圆心角为θ，地球半径为R，a、b两点在水平面上的距离为D′。若用水平面代替水准面，即以水平距离D′代替D，则在距离上所产生的误差为

ΔD=D′-D

其中 D′=Rtanθ，D=Rθ

则 ΔD=R（tanθ-θ）

因θ值一般很小，将tanθ按级数展开，并略去高次项得

将θ=D/R代入上式得

因地球半径R=6371km，D以不同的值代入上式，可计算出水平面代替水准面的距离误差和相对误差，结果见表1-2。当距离为10km时，用水平面代替水准面所产生的距离误差为0.82cm，相对误差为1∶1220000，小于目前精密距离测量的容许值。因此，在半径为10km的范围内进行距离测量工作时，用水平面代替水准面所产生的距离误差可以忽略不计。

2.对高程的影响

由图1-7可知，a、b两点在同一水准面上，高程相等，高差应为零。当b点投影到过a点的水平面上得到b′点时，bb′=Δh，即为水平面代替水准面对高程产生的误差，则

（R+Δh）²=R²+D′²

上式中，用D代替D′，Δh与2R相比可忽略不计，故上式可写成

由上式可知，Δh的大小与距离的平方成正比。当D=1km时，Δh=7.8cm，若D=100m，Δh=0.78mm。因此在进行高程测量中，即使在很短的距离内也必须考虑地球曲率的影响。

结论：在面积为100km²范围内，不论进行水平距离还是水平角测量，都可以不考虑地球曲率的影响，但对高程测量的影响不能忽略。