1.5.5 电源等效变换法

在直流电路中，如果有多个电源，且电源以串联或并联的方式连接，则可以采用电源等效变换法来分析电路。电源等效变换法的基本思路是，先对电路中不同电源的电源类型进行等效变换，即将电压源变为电流源，或者将电流源变为电压源，然后合并电源，使多电源电路变为单电源电路，从而使接下来的电路分析变得简单。

电源有电流源和电压源两种，连接方式有串联和并联两种，两者两两组合就有6种可能：电流源和电流源串联、电流源和电压源串联、电压源和电压源串联、电流源和电流源并联、电流源和电压源并联以及电压源和电压源并联。并联的电流源才能合并，等效为一个电流源；串联的电压源才能合并，等效为一个电压源。所以，为了可以合并，串联的电源都要变换为电压源；并联的电源都要变换为电流源。这即是电路中电源合并的基本指导思想。

1.实际电源的电路模型

电源可以分为电压源和电流源。一个理想的电源是没有内阻的，但是实际电源有内阻。对一个实际电压源，可采用一个理想电压源串联一个电阻来表达，其电路模型如图1.36所示。

对一个实际电流源，可采用一个理想电流源并联一个电阻来表达，其电路模型如图1.37所示。

2.电压源与电流源的等效变换

电压源与电流源的等效变换是指，一个电压源模型可以等效地变为一个电流源模型，反之亦然。这里的等效是指，一个负载，不管是连接在图1.36所示电压源模型的a、b两端，还是连接在图1.37所示电流源模型的a、b两端，其两端的电压和流过它的电流都是相等的。这即表明，对外部的负载而言，采用电压源供电和采用电流源供电，其效果是等价的。

设电压源与电流源具有相同的内阻R₀，它们给外部负载R_L的供电效果是等效的，即R_L两端的电压U和流过R_L的电流I是相等的，如图1.38所示。

对图1.38中的电压源电路，根据基尔霍夫电压定律，对回路列电压方程得

对图1.38中的电流源电路，根据基尔霍夫电压定律，对右边的网孔列电压方程可得

比较式（1.47）和式（1.48）可得

这即是电压源模型与电流源模型的电源等效变换公式。

在将电压源与电流源等效变换时，电源的内阻没有变化，只是从与理想电压源的串联，变为与理想电流源的并联；另外，需要注意电压源电压参考方向与电流源电流参考方向的对应关系，在电源内部，电流是从“－”端流向“+”端，或电压沿着电流的方向升高。

3.电源的合并

电源合并有一个前提条件，就是对外部的供电效果不变，即对外部的负载来说，负载两端的电压和流过负载的电流不变。这里所讲的电源合并，全都是基于这个默认的前提。

（1）电压源与电压源串联的合并

电压源与电压源串联合并为一个电压源，如图1.39所示。根据电源合并的默认前提，合并前后a、b端对外输出电压U_ab不变，a、b端流过的总电流I不变。

对图1.39所示电路的开口回路，运用基尔霍夫电压定律可得

整理可得

这即表明，两个电压源串联合并为一个电压源，有这样的关系：

这即是电压源串联合并公式。这里，同样需要注意合并前电压源参考方向与合并后电压源参考方向的关系。合并前各电压源的电压，如果其参考方向与合并后电压源电压的参考方向一致，就在其符号前取“+”，如果不一致，就在其符号前取“－”号，然后求和，就得到合并后电压源的电压。如图1.39所示，电压源电压E₁和E₂参考方向与E的参考标得一致，都是上正下负，所以都在其符号前取“+”求和。如果电源E₂的参考方向跟图中相反，是上负下正，则取－E₂代入求和，得到合并后电压源的电压为E＝E₁－E₂。

更进一步，根据基尔霍夫定律很容易验证得到：电源和电阻交换位置，不影响电源合并结果，如在图1.39中交换电源E₂和电阻R₂的位置，电源合并结果并不改变；电阻R₁或电阻R₂为0，或者电阻R₁和R₂都为0，也不影响电源合并结果。

（2）电流源与电流源并联的合并

电流源与电流源合并为一个电流源，如图1.40所示。根据基尔霍夫电流定律有

根据电源合并的默认前提，由式（1.53）可知

这即是电流源并联合并公式。这里，同样需要注意合并前后电源电流参考方向要一致，即流向一致。

同样地，对合并前的电路，电流源与电阻的位置可以交换，不影响合并结果；对合并前的电路，电阻R₁或R₂可以为0，也可以都为0，这表明电流源没有内阻，只需把电阻为0的那条支路去掉即可，此时电流源的合并不受影响，还是通过式（1.54）计算。

（3）电压源与电流源串联的合并

电源的串联合并，需要先将所有电源等效变换为电压源，然后根据电压源的串联合并公式计算，见式（1.52）。这里，需要将电流源变换为电压源，然后与电压源合并，得到一个电压源。

整个合并过程如图1.41所示，结果已经直接表达在图中了。

（4）电压源与电流源并联的合并

电源的并联合并，需要先将所有电源等效变换为电流源，然后根据电流源的并联合并公式计算，见式（1.54）。这里，需要将电压源变换为电流源，然后与电流源合并，得到一个电流源。

整个合并过程如图1.42所示，合并结果已经直接表达在图中了。

（5）电压源与电压源并联的合并

这里，需要将电压源等效变换为电流源，然后根据电流源的并联合并公式计算，见式（1.54），合并得到一个电流源。

整个合并过程如图1.43所示，合并结果已经直接表达在图中了。

（6）电流源与电流源串联的合并

这里，需要将电流源等效变换为电压源，然后根据电压源的串联合并公式计算，见式（1.52），合并得到一个电压源。

整个合并过程如图1.44所示，合并结果已经直接表达在图中了。

4.特殊电源模型的处理

在电路中，除了电压源模型和电流源模型的形式，有时还可见到电压源与电阻并联，以及电流源与电阻串联这两种特殊形式的电源模型。对这两种特殊的电源模型，从电源等效变换的角度，前者可以等价为理想电压源，如图1.45所示，后者可以等价为理想电流源，如图1.46所示。因为与电压源并联的电阻，不会影响电压源对外输出的电压，与电流源串联的电阻，不会影响到电流源对外输出的电流。

由图1.45可见，电压源E与电阻R并联。电路中，电阻R的存在与否，不会影响到a、b两端的电压，所以电压源与电阻的并联，可以直接去掉电阻，等价为理想电压源。

由图1.46可见，电流源I_S与电阻R串联。电阻R的存在与否，不会影响到电流源流入或流出a、b端的电流，所以电流源与电阻的串联，可以直接短路掉电阻，等价为理想电流源。

【例题1.12】电路如图1.47所示。其中，E＝10V，I_S＝2A，R₁＝5Ω，R₂＝1Ω，R₃＝2Ω，R₄＝1Ω。请用电源等效变换法，求电阻R₄中的电流I。

解答：该电路中的电源采用的是串联或并联的连接方式，所以可以采用电源等效变换法求解。在电阻R₄两端取两个端点a和b。点a和点b右边的网络，就相当于电源外部的负载电路。点a和点b左边的电路就是含多个电源的网络，可以采用等效变换法，将多个电流源合并为一个电源。

电源等效变换法电路分析过程如图1.48所示，图中用点画线椭圆圈住的部分，表示将要进行等效变换的电源模型。图1.48a中，点画线圈住的部分是电压源和电阻并联构成的电压源模型，它可以直接变为理想电压源，如图1.48b所示。图1.48b中有一个电压源、电阻串联模型，和一个电流源、电阻串联模型，两者是并联关系，所以可以将前者变为电流源模型，后者变为理想电流源，如图1.48c所示。图1.48c中是两个电流源模型，可以直接将理想电流源合并，如图1.48d。在图1.48d中，运用电阻并联的分流公式可得