1.2 导热

导热是指温度不同的物体各部分或温度不同的两个物体之间直接接触而发生的热传递现象。从微观角度来看，热是一种联系到分子、原子、自由电子等的移动、转动和振动的能量。因此，物质的导热本质或机理就必然与组成物质的微观粒子的运动有密切的关系。

1）在气体中，导热是气体分子不规则热运动时相互作用或碰撞的结果。

2）在介电体中，导热是通过晶格的振动，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。由子晶格振动的能量是量子化的，人们把晶格振动的量子称为声子。这样，介电物质的导热可以看成是声子相互作用和碰撞的结果。

3）在金属中，导热主要是通过自由电子的相互作用和碰撞来实现，声子的相互作用和碰撞只起微小的作用。

4）至于液体的导热机理，相对于气体和固体而言，目前还不十分清楚。但近年来的研究结果表明，液体的导热机理类似于介电体，即主要依靠晶格的振动来实现。

应该指出，在液体和气体中，只有在消除热对流的条件下，才能实现纯导热过程，例如设置一个封闭的水平夹层，上为热板，下为冷板，中间充气体或液体，当上下两板温度差不大且夹层很薄时，可实现纯导热过程。

导热理论是从宏观角度进行现象分析的，它并不研究物质的微观结构，而把物质看作是连续介质。当研究对象的几何尺寸比分子的直径和分子间的距离大很多时，这种看法无疑是正确的。在一般情况下，大多数的固体、液体及气体，可以认为是连续介质。但在某些情形下，如稀薄的气体，就不能认为是连续介质。

在许多工程实践中，包括供热、通风和空调工程在内，导热是经常遇到的现象，例如建筑物的暖气片、墙壁和锅炉炉墙中的热量传递，热网地下埋设管道的热损失等。导热理论的任务就是要找出任何时刻物体中各处的温度。

为此，本章节将从温度分布的基本概念出发，讨论导热过程的基本规律以及描述物体内部温度分布的导热微分方程。此外，对求解导热微分方程所需要的条件进行简要说明。

1.2.1 基本概念及傅里叶定律

1.基本概念

（1）温度场

温度场是指某一时刻空间各点温度的总称。一般地说，它是时间和空间的函数，对直角坐标系即

式中 t——温度；

x，y，z——直角坐标系的空间坐标；

τ——时间。

式（1-9）表示物体的温度在x,y,z三个方向和在时间上都发生变化的三维非稳态温度场。如果温度场不随时间而变化，即=0，则为稳态温度场，这时，t=f（x，y，z，τ）。如果稳态温度场仅和两个或一个坐标有关，则称为二维或一维稳态温度场。一维稳态温度场可表示为

它是温度场中最简单的一种情况，例如高度和宽度远大于其厚度的大墙壁内的导热就可以认为是一维导热。具有稳态温度场的导热过程叫作稳态导热。温度场随时间变化的导热过程叫作非稳态导热。

（2）等温面与等温线

同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接所构成的面叫作等温面。不同的等温面与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线，称为等温线。

在同一时刻任何给定地点的温度不可能具有一个以上的不同值，所以两个不同温度的等温面或两条不同温度的等温线绝不会彼此相交。它们或者是物体中完全封闭的曲面（线），或者就终止于物体的边界上。

在任何时刻，标绘出物体中的所有等温面（线），就给出了物体内的温度分布情形，亦即给出了物体的温度场。所以，习惯上物体的温度场用等温面图或者等温线图来表示。图1-3就是用等温线图表示温度场的示例。

（3）温度梯度

在等温面上，不存在温度差异，因此，沿着等温面不可能有热量的传递。热量传递只发生在不同的等温面之间。

自等温面上的某点出发，沿着不同方向到达另一等温面时，将发现单位距离的温度变化，即温度的变化率，具有不同的数值。自等温面上某点到另一个等温面，以该点法线方向的温度变化率为最大。

沿该点法线方向，数值也正好等于这个最大温度变化率的矢量称为温度梯度，用gradt表示，正向（符号取正）是朝着温度增加的方向，如图1-4所示。

式中，n为法线方向上的单位矢量，为沿着法线方向温度的方向导数。温度梯度在直角坐标系三个坐标轴上的分量分别为、、。而且

式中，i、j和k分别为三个坐标轴方向的单位矢量。

温度梯度的负值，-gradt称为温度降度，它是与温度梯度数值相等而方向相反的矢量。

（4）热流密度矢量

单位时间单位面积上所传递的热量称为热流密度。在不同方向上，热流密度的大小是不同的。与定义温度梯度相类似，等温面上某点以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上也正好等于沿着该方向热流密度的矢量称为热流密度矢量。其他方向的热流密度都是热流矢量在该方向的分量。

热流密度矢量q在直角坐标系三个坐标轴上的分量为q_x、q_y、q_z。而且

式中，i、j、k分别为三个坐标方向的单位矢量。

2.傅里叶定律

傅里叶在实验研究导热过程的基础上，把热流矢量和温度梯度联系起来，得到

式（1-14）就是1822年由傅里叶提出的导热基本定律的数学表达式，亦称为傅里叶定律。式中的比例系数λ称为导热系数。

式（1-14）说明，热流密度矢量和温度梯度位于等温面的同一法线上，但指向温度降低的方向，如图1-5所示，式中的负号表示热流矢量的方向与温度梯度的方向相反，永远顺着温度降低的方向。

按照傅里叶定律和式（1-12）和式（1-13）可以看出，热流密度矢量x、y和z轴的分量应为

值得指出的是，式（1-14）和式（1-15）中隐含着一个条件，就是导热系数在各个不同方向是相同的。这种导热系数与方向无关的材料称为各向同性材料。

傅里叶定律确定了热流密度矢量和温度梯度的关系。因此要确定热流矢量大小，就必须知道温度梯度，亦即物体内的温度场。

1.2.2 导热系数

导热系数是物质的一个重要热物性参数，可以认为，式（1-14）就是导热系数的定义式，即

可见，导热系数的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量，它的单位是W/（m·K）。导热系数的数值表征物质导热能力的大小。

工程计算采用的各种物质的导热系数的数值一般都由实验测定。一些常用物质的导热数值列于表1-1中。

一般而言，金属比非金属具有更高的导热系数；物质的固相比它们的液相具有较高的导热性能；物质液相的导热系数又比其气相高；不论金属或非金属，它的晶体比它的无定形态具有较好的导热性能；与纯物质相比，晶体中的化学杂质使其导热性能降低；纯金属比它们相应的合金具有高得多的导热系数。

物质的导热系数不但因物质的种类而异，而且还和物质的温度、压力等因素有关。导热是在温度不同的物体各部分之间进行的，所以温度的影响尤为重要。在一定温度范围内，许多工程材料的导热系数可以认为是温度的线性函数，即

式中，λ₀为某个参考温度时的导热系数，b为由实验确定的常数。

不同物质导热系数的差异是由于物质构造上的差别以及导热的机理不同所致。为了更全面地了解各种因素，下面分别研究气体、液体和固体（金属和非金属材料）的导热系数。

1.气体的导热系数

气体导热系数的数值约在0.006~0.6W/（m·K）范围内。气体的导热是由于分子的热运动和相互碰撞时所发生的能量传递。根据气体分子运动理论，在常温常压下，气体的导热系数可以表示为

式中，为气体分子运动的平均速度，l为气体分子在两次碰撞间的平均自由行程，ρ为气体的密度，c_v为气体的比定容热容。

当气体的压力升高时，气体的密度ρ也增加，自由行程l则减小，而乘积lρ保持常数。因而，可以认为气体的导热系数不随压力发生变化，除非压力小于2.67×10^-3MPa或压力高于2.0×10³MPa。

图1-6给出了几种气体的导热系数随温度变化的实测数据。由图1-6可知，气体的导热系数随温度升高而增大，这是因为气体分子运动的平均速度和比定容热容随温度的升高而增大所致。

气体中氢和氦的导热系数远高于其他气体，大约为其他气体的4~9倍，如图1-7所示，这一点可以从它们的分子质量很小，因而有较高的平均速度得到解释。在常温下，空气的导热系数为0.025W/（m·K）。房屋双层玻璃窗中的空气夹层，就是利用空气的低导热性起到降低散热作用的。

混合气体的导热系数不能像比热容那样简单地用部分求和的方法来确定，科学家们提出了若干种计算方法，但归根结底，必须用实验方法确定。

2.液体的导热系数

液体的导热系数的数值一般在0.07～0.7W/(m·K)范围内。液体的导热主要是依靠晶格的振动来实现的，应用这一概念来解释不同液体的实验数据，其中大多数都得到了很好的证实，据此得到的液体导热系数的经验公式：

式中，c_p为液体的比定压热容，ρ为液体的密度，M为液体的分子量。系数A与晶格振动在液体中的传播速度成正比，它与液体的性质无关，但与温度有关。一般情况下可认为Ac_p为常数。

对于非缔合液体或弱缔合液体，其分子量是不变的，由式（1-19）可以看出，当温度升高时，由于液体密度减小，导热系数是下降的。对于强缔合液体，例如水和甘油等，其分子量是变化的，而且随温度而变化。因此，在不同的温度时，它们的导热系数随温度变化的规律是不一样的。图1-8给出了一些液体导热系数随温度的变化。

3.固体的导热系数

（1）金属的导热系数

各种金属的导热系数一般在12～418W/(m·K)范围内变化。大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，如图1-9所示。这是因为金属的导热是依靠自由电子的迁移和晶格振动来实现的，而且主要依靠前者，当温度升高时，晶格振动的加强干扰了自由电子的运动，使导热系数下降。

金属导热与导电的机理是一致的，所以金属的导热系数与导电率互成比例。银的导热系数就像它的导电能力一样是很高的，然后依次为铜、金、铝。

在金属中掺入任何杂质，将破坏晶格的完整性而干扰自由电子的运动，使导热系数变小。例如，在常温下纯铜的导热系数为387W/（m·K），而黄铜（70%Cu，30%Zn）的导热系数降低为109W/（m·K）。

另外，金属加工过程也会造成晶格的缺陷，所以化学成分相同的金属，导热系数也会因加工情况而有所不同。大部分合金的导热系数随温度的升高而增大。

（2）非金属材料（介电体）的导热系数

建筑环境与设备工程专业特别感兴趣的是建筑材料和隔热材料。这一类材料的导热系数大约在0.025～3.0W/（m·K）范围内。它们的导热系数都随温度的升高而增大。岩棉制品、膨胀珍珠岩、矿渣棉、泡沫塑料、膨胀蛭石、微孔硅酸钙制品等都属于这类材料。

严格地讲，这些材料不应视为连续介质，但如果空隙的大小和物体的总几何尺寸比起来很小的话，仍然可以有条件地认为它们是连续介质，用表观导热系数或当作连续介质时的折算导热系数来考虑。

在多孔材料中，填充空隙的气体（如空气）具有低的导热系数，所以良好的保温材料都是空隙多、相应地体积重量（习惯上简称“密度”）轻的材料。

根据这一特点，除利用天然材料（例如石棉等）外，还可以人为地增加材料的空隙以提高保温能力，例如微孔硅酸钙、泡沫塑料和加气混凝土等。但是，密度低到一定程度后，小的空隙会连成沟道或者使空隙较大，引起空隙内的空气对流作用加强，空隙壁间的辐射有所加强，反而会使表观导热系数升高。

多孔材料的导热系数受湿度的影响很大。由于水分的渗入，替代了相当一部分空气，而且更主要的是水分将从高温区向低温区迁移而传递热量。因此，湿材料的导热系数比干材料和水都要大。例如，干砖的导热系数为0.35W/（m·K），水的导热系数0.6W/（m·K），而湿砖的导热系数高达1.0W/（m·K）左右。所以对建筑物的围护结构，特别是冷、热设备的保温层，都应采取防潮措施。

前已述及，分析材料的导热性能时，还应区分各向同性材料和各向异性材料。例如木材，其沿不同方向的导热系数不同，木材纤维方向导热系数的数值比垂直纤维方向的数值高一倍，这种材料称为各向异性材料。用纤维和树脂等增强、黏合的复合材料也是各向异性材料。本书在后续分析讨论中，都只限于各向同性材料。

表1-2给出了一些建筑、保温材料的导热系数和密度数值，以供参考。

1.2.3 导热微分方程式

傅里叶定律确定了热流密度矢量和温度梯度之间的关系。但是要确定热流密度矢量的大小，还应进一步知道物体内的温度场，即

t=f(x,y,z,τ)

为此，像其他数学物理问题一样，首先要找到描述上式的微分方程。这可以在傅里叶定律的基础上，借助热力学第一定律，即能量守恒与转化定律，把物体内各点的温度关联起来，建立起温度场的通用微分方程，亦即导热微分方程。

假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热系数λ、比热容c和密度ρ均为已知，并假定物体内具有内热源，例如化学反应时放出反应热、电阻通电发热，以及熔化过程中吸收物理潜热等，这时内热源为负值。用单位体积单位时间内所发出的热量q_v表示内热源的强度。

基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体dV=dxdydz，微元体的三个边分别平行于x、y和z轴，如图1-10所示。

根据能量守恒与转化定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入与导出微元体的净热量，加上热源的发热量，应该等于微元体热力学能量的增加，即

下面分别计算式（1-20）中的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三项。

导入与导出微元体的净热量可以由x，y和z三个方向导入与导出微元体的净热量相加得到。在dτ时间内，沿x轴方向，经x表面导入的热量为

dΦ_x=q_xdydzdτ

经x+dx表面导出的热量为

dΦ_x+dx=q_x+dxdydzdτ

而

于是，在dτ时间内，沿x轴方向导入与导出微元体的净热量为

同理，此时间内，沿y轴方向和z轴方向，导入与导出微元体的净热量分别为

将x，y和z三个方向导入与导出微元体的净热量相加得到

将式（1-15）代入式（1-21），可以得到

在dτ时间内，微元体中内热源的发热量为

在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

对于固体和不可压缩的流体，比定压热容c_p，即c_p=c_v=c。将式（1-22）~式（1-24）代入式（1-20），消去等号两边的dxdydzdτ，可得

式（1-25）称为导热微分方程式，实际上它是导热过程的能量方程。式（1-25）借助能量守恒定律和傅里叶定律把物体中各点的温度联系起来，它表达了物体的温度随空间和时间变化的关系。

当热物性参数导热系数λ、比热容c和密度ρ均为常数时，式（1-25）可以简化为

或写成

式中，▽²为拉普拉斯运算符；为热扩散率，单位为m²/s。

热扩散率α表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度去向均匀一致的能力。

例如，木材的热扩散率α=1.5×10^-7m²/s；铝的热扩散率α=9.45×10^-5m²/s，木材的热扩散率约为铝的1/600，所以燃烧木棒的一端已达到很高的温度，而另一端仍保持不烫手的温度。热扩散率对非稳态导热过程具有很重要的意义。

当热物性为常数且无热源时，式（1-26）可写成

对于稳态温度场，，式（1-26）可以简化为

对于无内热源的稳态温度场，式（1-28）可进一步简化为

在这种情况下，微元体的热平衡式（1-24）中的Ⅱ和Ⅲ两项均为零，所以导入和导出微元体的净热量也为零，即导入微元体的热量等于导出微元体的热量。

当所分析的对象为轴对称物体（圆柱、圆筒或圆球）时，采用圆柱坐标系（r，ϕ，z）或球坐标系（r，ϕ，θ）更为方便。这样，通过坐标变换（见图1-11），可以将式（1-25）转换为圆柱坐标系或者圆球坐标系的公式，对于圆柱坐标系，式（1-25）可改写为

对于圆球坐标系，式（1-25）可改写为

1.2.4 单值性条件

导热微分方程是根据热力学第一定律和傅里叶定律所建立起来的描写物体温度随空间和时间变化的关系式，没有涉及某一特定导热过程的具体特点，因此它是所有导热过程的通用表达式。

要从众多的不同导热过程中区分出人们所研究的某一特定的导热过程，还需对该过程进一步的具体说明，这些补充说明条件总称为单值性条件。

从数学角度来看，求解导热微分方程式可以获得方程式的通解。然而就特定的导热过程而言，不仅要得到通解，而且要得到既满足导热微分方程式、又满足该过程的补充说明条件的唯一解。

把这种特定唯一解的附加补充说明条件称为单值性条件。因此，对于一个具体给定的导热过程，其完整的数据描述应包括导热微分方程式和它的单值性条件两部分。

单值性条件一般地说有以下四项。

（1）几何条件

说明参与导热过程的物体的几何形状和大小。例如，形状是平壁或圆柱壁以及它们的厚度、直径等几何尺寸。

（2）物理条件

说明参与导热过程的物理特征。例如，给出参与导热过程物体的热物性参数比热容c和密度ρ等的数值，它们是否随温度发生变化；是否有内热源，以及它的大小和分布情形。

（3）时间条件

说明在时间上过程进行的特点。稳态导热过程没有单值性的时间条件，因为过程的进行不随时间发生变化。对于非稳态导热过程，应该说明开始时刻物体内部的温度分布，它可以表示为

故时间条件又称为初始条件。初始条件可以是各种各样的空间分布，例如，加热或冷却一个物体时，在过程开始时刻，物体的各部分具有相同的温度，那么初始条件表示式为

式中，const表示常数。

（4）边界条件

人们所研究的物体总是和周围环境有某种程度的相互联系。它往往也就是物体内导热过程发生的原因。因此，凡是说明物体边界上过程进行的特点、反映过程与周围环境相互作用的条件均称为边界条件。常见的边界条件的表达方式可以分为三类。

第一类边界条件是已知任何时刻物体边界面上的温度值，即

式中，下标s表示边界面，t_w是温度在边界面s的给定值。对于稳态导热过程，t_w不随时间发生变化，即t_w=const；对于非稳态导热过程，若边界面上温度随时间而变化，还应给出t_w=f(τ)的函数关系。例如，如图1-12所示的一维无限大平壁，平壁两侧表面各为持恒定的温度t_w1和t_w2，它的第一类边界条件可以表示为

t|_t=0=t_w1;t|_t=δ=t_w2

对于二维或三维稳态温度场，它的边界面超过两个，这时应逐个按边界面给定它们的温度值。

第二类边界条件是已知任何时刻物体边界面上的热流密度值。因为傅里叶定律给出了热流密度矢量与温度梯度之间的关系，所以第二类边界条件等于已知任何时刻物体边界面s法向的温度变化率的值。

值得注意的是，已知边界面上温度变化率的值，并不是已知物体的温度分布，因为物体内各处的温度梯度和边界面上的温度值都还是未知的。第二类边界可以表示为

q|_s=q_w

或

式中，q_w是给定的通过边界面s的热流密度，对于稳态导热过程，q_w=const；对于非稳态导热过程，若边界面上热流密度是随时间变化的，还要给出q_w=f(τ)的函数关系。图1-13所示的肋片基处的边界条件，就是x=0界面处热流密度值恒定为q_w，这时第二类边界条件可以表示为

若某一个边界面s是绝热的，根据傅里叶定律，该边界面上温度变化率数值为零，即

例如，对于以后将要讨论的肋片，由于肋片的温度沿着肋片高度而下降，所以对于很高的肋片，它的端部温度与周围空气的温度就很接近，可以近似地认为端部是绝热的，如图1-13所示，这时肋片端部的边界条件应写为

第三类边界条件是已知边界面周围流体温度t_f和边界面与流体之间的表面传热系数h。根据牛顿冷却定律，物体边界面s与流体间的对流换热量可以写为

q=h(t|_s-t_f)

于是，第三类边界条件可以表示为

如图1-13所示，若肋片端部与周围空气的对流换热不允许忽略，那么肋片端部的第三类边界条件可以表示为

对于稳态导热过程，h和t_f不随时间而变化；对于非稳态导热过程，h和t_f可以是时间的函数，这时还要给出它们和时间的具体函数关系。

应该注意的是，式（1-37）中已知的条件是h和t_f，而和t|_s都是未知的，这正是第三类边界条件与第一类、第二类边界条件的区别所在。在确定某一个边界面的边界条件时，应根据物理现象本身在边界面的特点给定，不能对同一界面同时给出两种边界条件。