2.3 进制转换及数据存储

人们生活中一直使用十进制系统，而计算机中一直使用二进制系统。这个系统是由科学家Leibniz发明的。

2.3.1 进制的转换

下面来看看进制之间如何转换。二进制到十进制是很简单的，一个二进制数根据公式其数值等于k*2ⁿ+k*2^n-1+…+k*2⁰，其中k只有0和1两个值，如11001，就等于1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=25。

二进制转换成十进制的程序就不在这里演示了。

十进制转换成二进制有一点麻烦，用的一种除2余数法。

将十进制的25转换成二进制，按照如下步骤操作。

1）25除2，得到商数12，余数为1。

2）用12再除2，得到商数6，余数为0。

3）用6再除2，得到商数3，余数为0。

4）用3再除2，得到商数1，余数为1。

5）用3再除2，得到商数0，余数为1。

到此计算完毕，把余数反过来写，即11001就是最后的结果。

用程序来表达上述过程：

不用说读者也能看出，这个程序处理不了实数，因为实数有两部分，这个程序处理不了小数部分。小数部分不是通过除2取余，而是通过乘2取整得到的。

对十进制的0.125这个数，按照如下步骤操作转换成二进制。

1）把0.125乘2，得到0.25，取整数部分，是0。

2）把0.25乘2，得到0.5，取整数部分，是0。

3）把0.5乘2，得到1，取整数部分，就是1。

计算完毕，最后的结果就是0.001。

用程序实现如下：

测试0.125，得到结果0.001。

测试0.124，得到结果0.00011111101111100111011011001000101101000011100101011。

初次接触，读者可能会很惊奇，二进制表示0.124这么麻烦呐！可想而知有些小数会用到几百几千位才能够表示出来。许多人就会疑惑，那计算机里面究竟是如何表示的呢？

2.3.2 计算机如何存储数据？

计算机的存储空间有限，不能无止境地存储这些数，所以对小数会按照固定的精度存储。由此可以看到对小数的表示，在计算机中是不精确的，只是一个符合某种精度的大约值。

下面研究一下计算机内部数据的存储。计算机的最小数据单元是bit（比特），存一位，这个是不可再分割的。计算机中所有数据和信息都是靠很多bit表示和存储的。或许读者对bit没有什么概念，它能存多少信息呢？或者反过来说，一个数字、一个字符一首音乐需要多少bit表示和存储呢？

简单计算一下。

对于整数，从0到无穷，一个bit只能表示两个数字，0或1。如果有4个数字要表示，需要两个bit，即00、01、10、11，以此类推。8个bit可以表示256个数字，16个bit可以表示65536个数字，32个bit大约可以表示40亿个数字。

存储都是需要依靠物理设备的，落实到物理上，存储设备在不同的地方、不同的时代都不相同，只要能稳定地保持两种状态的器件都可以当成存储设备，最形象的就是开关。一个开关就是一个bit，存储65536个数字，需要16*65536个开关，这是一个比较大的数，如果存储40亿个数字，需要32*40亿个开关。

读者肯定很吃惊，这么多开关合在一起，得占多大的地方啊？想象得没有错，早期的计算机确实占地面积很大，有一座房子那么大，程序员是钻进计算机里面编写程序的。

早期的计算机还是“电老虎”，性能不高（相对于现在而言），经常坏（每15min烧掉一只真空电子管）。后来技术越来越进步，“开关”越做越小，也越来越快。

2.3.3 形象一点来看晶体管

1947年，美国贝尔实验室的巴丁、布拉顿、肖克莱三人发明了晶体管。晶体管尺寸小、开关速度快、发热量小，非常适用于计算机。晶体管有三极：e、c、b。高低电平变化，c和e导通或截断，通过这个表示0或1。

可以表示数（二进制），也可以表示逻辑运算（因为0和1可以认为是两种状态），这样实现了逻辑学的基础：布尔代数（布尔代数进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集，进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。由英国数学家George Boole开创）。

比如1变为0，0变为1就是逻辑非运算NOT

比如下表是逻辑与运算AND

比如下表是逻辑或运算OR

比如下表是逻辑异或运算XOR

有了二极管和晶体管，通过电路比较容易实现上面的逻辑，这种电路叫门电路（因为通过开关表示，门可以开可以关，所以起了这个名字）。

与门如下图所示。

分析：当输入1为高电平，输入2也为高电平时，VT₁₁导通，VT₉导通，则输出点也为高电平，即为1。

或门如下图所示。

分析：当输入1或输入2为高电平时，VT₆导通，输出点高电平，即数字量1。

非门如下图所示。

分析：当输入为高电平时，VT₁导通，输出点电压为VT₁的c、e之间的压降，即0.3V，即输出为数字0；当输入为低电平时，VT₁的c、e之间未导通，输出电压为上拉的电压，+5V，即数字1。

现在用三极管做出了逻辑运算，可以看出数据和运算在二进制中是一回事，所以最后在底层统一到门电路了。

门电路的符号如下图所示。

先看如何组合一下这些基本门电路让它存储状态，也就是逻辑上存一位bit。作为存储器，基本的要求是保持状态稳定，远古的时候用小石子和绳结，它们不会轻易变化，这个固有的物理特性就让它们适合存储，而手指则不适合，一去干别的事情，手指头的状态一下子就变化了。

使用如下双稳态电路作为存储器。

上面的电路组合了两个或非门，一个的输出是另一个的输入，这样构成双稳态结构。当S端设为1时Q总是1，当R端设为1时Q总是0。

当电路上一秒还在“S=0，R=1”状态时（此时Q=0，非Q=1），突然变成了“S=0，R=0”，此时可以发现，由于Q=0，S=0，非Q仍然是1。非Q=1，R=0，Q仍然是0，双稳态电路就做到了保持Q的状态。电路有了记忆。所以可以存储一位bit。这个电路叫作基本RS触发器。

把上面的RS触发器组合在一起，就可以存储多位了，如图所示。

现在终于有了能存储数字的器件了。从远古人类用小石子、绳结作为存储器，经过了数千年，人们发明了速度快得多、体积小得多的存储器。

要注意，现在讲的是计算机内部的寄存器，人们平时还会接触硬盘一类的存储设备，它是如何存储的呢？它们的原理不同，用的是磁介质，这里不做进一步解释了。

2.3.4 抽象一点来看数据存储逻辑

手上有了这些器件，知道它们能从物理上表示和存储bit，后面不需要再管实际的物理部件了，只要从逻辑上去理解如何进行数据表示和存储即可。

先看正整数。计算机内部一般用定点法存储正整数。所谓定点，就是不管这个数是3还是30000，都用同样多的bit表示，如用16位bit表示整数。3表示为0000000000000011（前面补充14个0）。这样的好处是整数在计算机内部都是对齐的。定点法表示整数会有一个最大值，如16位最大能表示的数字为65535。

正整数是无符号的，那么如何表示有符号的数呢？表示负数就必须想办法把这个符号表示出来。前面曾提到过，在计算机中一般用补码表示。规则简单地说就是取反加1。这个规则的另一种表述是：从最右边的位开始，逐个复制，遇到第一个1，复制这个1之后的操作变成逐个取反。笔者更加喜欢第二种表述，因为这是一种机械操作式的表述，让人好像看到了计算机内部是如何变化的。

用补码表示数，最左边高位的符号如果为1，表示为负数，0则为正数。

如-28，28的二进制为00011100，求补码为11100100，-28就是用补码11100100表示的。

28还是表示为00011100。

因为最高位是符号，所以补码表示的数字范围是无符号表示的一半，比如用8位表示无符号数，表示范围为0～255，而用补码表示范围为-128～127。

下面再看看如何存储实数。

前面介绍过，实数在二进制表示中有精度问题，IEEE规定了几种格式，用得比较多的有两种：单精度和双精度。

这种结构是一种科学计数法，用S（符号）、E（指数）和M（尾数）来表示，底数定为2，即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添加符号。

一个实数，可按照如下办法存储。

1）先确定符号位，0为正数，1为负数。

2）数字转成二进制。

3）规范化科学计数。

4）计算E和M值。

5）组合SEM。

举例，5.75的存储方法如下。

5.75是正数，所以S符号位为0，转成二进制为101.11。把101.11规范化成1.0111*2²。这样识别出指数为2，按照IEEE规定加127偏移量，得出E为129，二进制表示为10000001。

尾数为0111（由于规范化之后小数点前永远为1，所以就不存储了），后面加19个0补齐23位，M为01110000000000000000000。拼在一起的存储格式为01000000101110000000000000000000。

除了数，还会接触到很多别的类型，如字符、音频、图像，那这些是如何存储的呢？其实一切都要数字化。

2.3.5 字符的编号

对于字符，要规定字符的编码，比如a，规定编码为61。标准化组织制定了一些标准来统一编码，用于共享和交换，比如常用的ASCII，如下图所示。

音频是模拟信号，要全部记录下来需要无穷的存储空间，所以通过采样进行数字化，比如在一秒钟的音频中采集100个点，记录点上的值（16位记录一个点的值），为了不失真，要求采样足够密，按照MP3的标准，每秒要采样44100次。

可以计算一下，按照MP3规范，一秒的音频的位率是44100*16=640KB/s。

这下可以理解为什么音频文件会比文本文件大很多了。

图像也是类似的道理，可以逐点记录图像的值。JPEG和GIF都是这方面的标准。同样可以想象到，存储图像也需要很大的空间。

讨论到这里可以看出，计算机内部把一切数字化，存储上存的就是数字。而运算也简化成了基本运算，即加法、移位和逻辑运算。