第3章 无穷

一个激进的经验主义者相信正整数是一个一个被发现的(1)

让·皮亚杰

世间的精彩,或正来自于其充满着无限的可能。时间上,文明延绵不绝,从几千年前的刀耕火种到如今的机器轰鸣;空间上,征途是星辰大海,人类从非洲无垠的草原出发,已快要登上火星。人们一代人接着一代人,前赴后继,在无限的时空上孜孜不倦地前进着。

然而,于每一个个体,一切又都是有限的。我们的生命不过几十年,能看过不过几百本书,能结识不过几千人,能行走不过几万里路。无怪乎庄子曾感慨道“吾生也有涯,而知也无涯。以有涯随无涯,殆已!”追逐无涯,很累啊!

但是,你我并没有就此被囚禁在一个牢笼之中。纵使我们的肉体没办法突破有限牢笼的禁锢,我们的思维却可以在无限的海洋中尽情地遨游!我们可以想象无穷,可以感受它,琢磨它,甚至把握与驯服它!而数学的伟大成就之一,便是对无穷的征服。

当然,这征途并非一帆风顺。直面无穷的早期,人们真是充满了困惑。比如下面这个看起来很荒谬的结论,其改编于著名的芝诺(Zeno)悖论(2)

悖论3.1 龟兔赛跑中,若乌龟先跑出一段,那么兔子便永远追不上乌龟。因为,若要追上,兔子得先跑到乌龟此刻的位置,但此时乌龟已经又跑出去一小段。如此循环往复无穷无尽,故兔子永远追不上乌龟。

再比如,回到我们之前提过的问题2.2:什么是。如果你写一个计算机程序来计算它,随着时间的推移,你会算得越来越精确,源源不断地得到其小数点后越来越多位:

· 1.414

· 1.414213

· 1.41421356

· 1.41421356237.

这个过程可以永远持续下去,不会停止,不会到头,不会出现循环,不会出现规律。我们永远也写不

难道兔子真的追不上乌龟吗?难道真的永远也写不出来吗?当然不是,兔子一眨眼便会超过乌龟,“”这个符号已经把写完了呀!上面的一切困惑,仅表明一个问题:我们对自己认知无穷本能的理解还非常肤浅,或者说朴素。