3.3.3 载波恢复

解调端在进行信号接收时，必须获得一个与发送端载波同频同相的载波。由于发送设备发射频率的不稳定、信道传输过程中的多普勒效应和接收设备本振的不稳定会产生频率偏移，将对数据的正确解调产生严重的影响，这时就需要在解调端进行载波恢复。

全数字方式实现载波恢复一般有两种方法，一种是开环恢复，直接对接收信号的频偏和相位误差进行估计，然后给予有效的补偿；另一种是闭环恢复，采用数字锁相环实现载波频偏的捕获和跟踪。开环方式同步时间短、结构简单、计算效率高，但其对噪声敏感，估计精度有限，随着符号数的增加，残余频偏还会造成星座图的旋转；闭环恢复精度高、性能好，但和开环方式相比，其建立同步时间长，适应频偏范围小，对于较大频偏将导致系统无法正常工作。

TDMA突发长度较短，对载波恢复的处理速度有较高的要求，要求在较短的时间内实现高精度的同步。相比于 FDMA 等连续信号系统，TDMA 系统的载波恢复单元设计难度明显增大。为了兼顾频偏纠正的范围、精度和处理速度，TDMA系统通常将载波恢复分成两个步骤：载波粗频偏同步和细频偏同步两个部分。粗同步对信号进行大载波频偏的快速捕获，得到近似频偏并对其进行纠正。粗频偏估计完成了对频偏的捕获，细频偏同步进一步对载波粗频偏估计后的残余小频偏进行纠正。

开环估计算法通常需要数据辅助，可以通过在物理帧之中增加导频实现，但是缺点是会牺牲传输效率。因此 TDMA 系统通常在高阶调制时添加导频信息使用开环估计，在BPSK、QPSK等低阶调制时使用闭环同步。

3.3.3.1 载波开环估计

载波开环估计主要是基于最大似然前馈结构的载波频偏估计算法。在这类算法中，通常为数据辅助类方法，需要借助导频来提取载波同步的信息，通过计算导频信号的自相关函数，直接估计出载波同步的必要参数，如载波频率等。载波开环频率估计有两项要求：低信噪比和大估计范围。

在这类算法中，需先计算导频信号的自相关函数，首先定义接收信号r（k）的自相关函数为：

式中，1≤i≤N，N为导频信号自相关函数的阶数，而N≤L-1，后同。

利用导频信号自相关函数进行频偏估计的经典算法有以下几种。

1.Fitz算法[9]

由Fitz M.P.提出的Fitz算法是一种基于前馈结构的载波频率估计算法。算法的原理是，对于导频信号的自相关序列取相位以得到相位序列，通过对相位序列求算术平均，得到载波频率估计值。其归一化频率估计式为：

其中，此算法的估计范围与参数N（观察数据长度或称自相关函数的阶数）的选择有关。在信噪比较高时，该算法的估计范围为±1/（2N）。为了获得较高的估计精度，需要较大的N值，这将使得频偏的估计范围降低。当N值很大时，估计范围很小。Fitz 算法存在估计精度与估计范围的矛盾，该矛盾限制了Fitz算法的实际应用。

2.L＆R算法[10]

Luise和Reggiannini提出了L＆R算法，与Fitz算法不同的是，L＆R算法对信号的自相关序列 R（i）进行了取平均值，这对减小噪声的影响有一定意义。归一化频率估计表达式为：

该算法的信噪比门限值大约为0dB，但由于受到较窄的频率估计范围的影响，其多应用于收发双方动态性较低的突发通信系统。该算法的估计范围为±1/N。

3.M＆M算法[11]

Umberto Mengali和M.Morelli提出了M＆M算法，这也是一种前向结构的载波频率估计算法。该算法对自相关函数的相位差分结果进行平滑，并将平滑结果作为载波的频率估计值，算法的归一化频率估计表达式为：

式中，ω（i）为平滑窗函数，表达式为：

M＆M算法在有效频偏估计范围内，估计误差较小。虽然其收敛的信噪比门限较高，但该算法建立了频率与相位增量之间的函数关系，具有较大的频率估计范围。

图3.12给出了以上三种算法的估计性能曲线。

3.3.3.2 基于分散导频的载波频偏估计

传统的载波频偏估计算法均基于连续导频结构设计，一定门限信噪比下估计精度完全取决于所使用导频的长度，兼顾帧效率要求时传统估计算法的估计精度普遍不高，难以满足闭环同步环路的入锁带宽要求。Gansman[12]首先提出了基于分散导频提高频偏估计精度的思想，并给出了导频任意分布下频率估计的克拉美·罗界表达式：

式中，N为导频长度，E_s/N₀为符号信噪比，k_m表示各个导频符号在传输帧中的位置，f 表示频率。特别地，当导频连续分布且位于帧头位置时，上式可化简为：

式（3-28）即 Rife、Boorstyn[13]给出的未调载波淹没于白噪声时，载波参数联合估计中的归一化频率估计的克拉美·罗界，显然经典频率估计界只是Gansman任意导频分布频率估计界的一个特例。

假定一个突发帧结构为：帧长为L_f，总数为N的导频等分为N_p（N_p=N/2）长的两块，一块位于突发帧的帧头，自该块第一个导频起开始插入另一导频块，且满足L_f-N_p≥L≥N_p，利用式（3-27）计算该帧结构下所能获得的理论估计界为

由上式可知，在 N 不变、E_s/N₀固定的情况下，分块会带来更好的理论估计性能，即通过设置导频符号的分布形式以增加导频间距可以提高频偏估计的理论性能。但是，对于分成多个导频块情况下的理论估计性能与连续导频形式的理论估计性能直接比较非常抽象且证明麻烦，建议实际应用时借助MATLAB仿真给出固定帧长度、不同导频配置下的理论估计性能曲线。

以导频长度为64符号、帧长度为504符号的情况为例，给出了如图3.13所示的三种帧内导频配置结构。其中，分散导频帧结构 1 为突发头为 32 个连续导频，后面剩余的 32 个导频在突发中等间隔分布；分散导频帧结构 2为突发头为32个连续导频，突发尾部包含16个连续导频，另16个导频在剩余突发部分等间隔分布。

借助于 Gansman 有关导频任意分布的克拉美·罗界表达式和 MATLAB仿真，给出信噪比范围为[0，10]dB时相应帧结构所能获得的理论估计性能，如图3.14所示。

由图3.14可知，采用分散导频的理论估计性能明显高于采用集中（连续）导频插入的理论估计性能。在要求开环估计高精度的条件下，无疑采用分散导频的形式可以节约大量的导频，保证足够的帧效率。

分散导频帧结构1最终的频偏估计依赖于连续导频后面的等间隔导频，估计算法可以选择M＆M等具有较大频偏估计范围的算法，利用等间隔导频所能获得的理论估计性能由下式给出：

分散导频帧结构2的最终频偏估计依赖于突发前端和末端的连续导频，估计算法参考式（3-31）[14]：

定义：

其中， L_j为第 j 分散导频块的长度， l_j为第 j 分散导频块在突发包中的起始位置，φ_j为第j分散导频块去调制求和得到的相位估计值。

对于只有两个导频块的情况，式（3-31）简化为：

利用前后导频块所能获得的理论估计性能由式（3-34）给出：

根据式（3-30）和式（3-34），给出信噪比范围为[0，10]dB时，两种帧结构在具体应用下所能获得的理论估计性能，如图3.15所示。对于前述的帧结构，可知D=16、N=32、L₁=32、L₂=16、t₂=560、t₁=16。

相较于分散导频帧结构1，分散导频帧结构2无论是其本身所能达到的最佳估计性能方面还是在具体实现所能获得的最佳估计性能方面都有优势，特别地在具体实现方面可以获得多达6dB的优势。

此外，除频偏估计精度外，频偏估计范围也是频偏估计算法重点关注的内容。分散导频帧结构估计精度的提高是以牺牲频偏估计范围为代价的，这可以通过研究不同导频配置下帧结构简化似然函数的特性来粗略获得该结构所能估计的有效频偏范围。

图3.16所示为无噪声情况下三种帧结构的似然函数特性，可以看出采用分散导频帧结构2所能估计的频偏范围为[-1/1000，1/1000]，这就要求前面基于前端连续导频和中间等间隔分散导频处理后的剩余频偏在该范围内。

3.3.3.3 载波闭环同步

载波闭环同步主要是采用锁相环方式实现信号的载波同步。其方法主要有：M次方环、Costas环和判决反馈环等载波恢复方法。它们的工作原理各不相同，具有的特性也不尽相同。

1. M 次方环

M 次方环是针对 MPSK 信号的一种有效的载波跟踪环，其首先对接收信号进行M 次方处理，以此来消除调制信息对环路的影响。然后通过中心频率为Mf_c的带通滤波器得到M 倍频分量。再通过锁相环去除载波相位差的影响，然后通过M 分频即可得到所需的本地载波。其结构框图如图3.17所示。

但是由于M 次方环工作于 M 倍载波频率，工程上 QPSK/8PSK 易于实现，对于更高阶解调不易实现。

2.Costas环

Holmes J.K.已经证明Costas环和M 次方环在性能上是等效的，但是采用M 次方环提取载波时，压控振荡器工作在M 倍载频上，当载波频率比较高时，工程实现比较困难。而Costas环工作在载频上，这在数据速率较高或载波频率较高的情况下是比较容易实现的，同时系统稳定工作后，环路的输出即同相正交两路数字基带信号，可直接输入解调器进行解调。Costas环的结构框图如图3.18所示。

鉴相器通过 I、Q 两路正交信号产生误差信号 e（k），经过环路滤波之后控制压控振荡器（VCO）产生同相正交的两路本地载波与接收信号相乘，通过环路的调整使其最终产生与接收信号一致的本地载波频率。

3.判决反馈环

判决反馈环与Costas环结构相似，区别在于鉴相方式不同，它是Costas环的一种改进形式。其工作原理是先对接收到的信号进行下变频和低通滤波，得到同相正交两路基带信号，然后分别对其进行判决，得到带有频差和相差的基带信号，再将判决得到的信号输入鉴相器进行鉴相，之后通过环路滤波去控制压控振荡器产生与接收信号一致的本地载波信号。判决反馈环的结构框图如图3.19所示。

与 Costas 环和M 次方环不同，判决反馈环工作于基带上，能够克服中频处理下的部分缺点。相对于Costas环，判决反馈环中的基带信号经过判决消去了部分噪声的影响再做相乘运算，而Costas环的同相正交分量都包含噪声，所以判决反馈环的噪声性能比 Costas 环和M 次方环好，但是判决反馈环在实现载波同步之前，需要初始捕获作为支撑。