2.2.2 风轮动量理论（贝兹极限理论）

风轮机的第一个气动理论是由德国的贝兹（Betz）于1926年建立的。为了简化分析，贝兹假定风轮是理想的，即没有轮毂，具有无限多叶片，且不考虑风轮尾流的旋转。此外，还进行了以下假设。

（1）气流是不可压缩的均匀定常流。

（2）风轮简化成一个桨盘。

（3）桨盘上没有摩擦力。

（4）风轮流动模型简化成如图2.3所示的一个单元流管。

（5）风轮前、后远方的气流静压相等。

（6）轴向力（推力）沿桨盘均匀分布。

图2.4所示为风轮的气流图，并规定：v₁为距离风轮机一定距离的上游风速；v为通过风轮的实际风速；v₂为离风轮远处的下游风速。设通过风轮的气流的上游截面积为S₁，下游截面积为S₂。由于风轮的机械能量仅由空气的动能降低所致，因而v₂必然低于v₁，所以通过风轮的气流截面积从上游至下游是增加的，即S₂大于S₁。假设空气是不可压缩的，因此有

由Euler理论得到作用在风轮上的轴向力F为

由图2.4得到

式中，p_a、p_b分别为风轮两侧的气流静压。

由伯努利方程可得

假设风轮远方的气流静压相等，即p₁=p₂，得到

由式（2.7）和式（2.9）得到

比较式（2.6）和式（2.10）得到

式（2.11）表明，流过风轮的速度是风轮前来流风速和风轮后尾流风速的平均值。

根据能量方程，有

令，即，求解得

v₁=-v₂不合理，舍去，得到，代入式（2.12），得

式（2.14）即为根据贝兹理论推得的最大功率。

定义风轮机功率因数为C_p。C_p又称风能利用因数，为可提取的风能P与输入的风能E之比，即C_p=P/E。将最大功率除以气流所具有的动能，可得到风轮机的理想风能利用因数C_pmax表达式

式（2.15）说明，风轮从风中所能捕获的能量是有限的，实际上只有不到59.3%的风能可利用，实际的风能利用因数远达不到0.593，一般为0.2～0.5，其功率损失部分可以解释为留在尾流中的旋转动能。

能量转换的效率与采用的风轮机和发电机形式有关。风轮叶片的平面形状与剖面几何形状和风轮机的空气动力特性密切相关，特别是剖面几何形状（翼型气动特性）的好坏，将直接影响到风轮机的风能利用因数和风力发电机组的性能。在设计风力发电机组时，总希望得到较高的风能利用因数，使风轮的能量损失尽可能小，即阻力尽可能小，为此要求选择的翼型具有较高的升力因数。一般应根据以下规则选择翼型：对于低速风轮，叶片数较多，不需要特殊的翼型升阻比；对于高速风轮，叶片数较少，应当选用在很宽的风速范围内具有较高升阻比和平稳失速特性的翼型，使其对粗糙度不敏感，以便获得较高的功率因数；另外，要求翼型的气动噪声较低。