3.1.3 自由曲面透镜的构建算法

将LED光源按等光通量划分为M×N份，同时将矩形目标面按等面积划分为M×N份，如何控制每个立体角内的光通量入射到目标面对应的网格区域内，这需要自由曲面透镜来进行控制。

1.构造自由曲面透镜种子线

此步骤与圆对称自由曲面透镜母线构造方法相似。设种子线基准点为P0，此点即为透镜顶点P0（0，0，z0）。设该条种子线上任一点为Pi，j，其中下标i表示该点所在纬线数的序号，下标j表示该点所在经线数的序号，如图3-7所示。

图3-7 自由曲面种子曲线的构建过程（图a）和根据种子曲线构建相邻曲线（图b）

当第i条经线上的P（i，j）点确定后，入射光线OPij的单位矢量为

OPij=[sinθjsinγii，sinθjcosγij，cosθjk] （3-14）

当OPij经过P（i，j）点折射到目标面上的T（i，j）点时，出射光线的单位矢量为

根据折射定律的矢量形式可以求得过P（i，j）点的法向矢量Nij。

过P（i，j）点的切线与下一条光线OPij+1（γi，θj+1）交于P（i，j+1）点，设该点到原点的距离为Rij+1，这样P（i，j+1）点的坐标可以表示为

xij+1=Rij+1sinθj+1cosγi

yij+1=Rij+1sinθj+1sinγi

zij+1=Rij+1cosθj+1 （3-16）

此外过P（i，j）点的切线为PijPij+1，则必然有

PijPij+1·Nij=0 （3-17）

联立式（3-16）和式（3-17）可以求得Rij+1，从而求得P（i，j+1）。利用上面的方法建立了同一条种子线上的相邻采样点之间的迭代关系，初始点即透镜的顶点坐标是已知的，所以从该点开始利用上面的关系重复迭代可以求得第i条经线上所有的采样点。

2.构造自由曲面透镜其他经度曲线

如图3-8所示，当构造完自由曲面透镜第i条种子线时，需构造i+1条曲线。当知道P（i，j）以后来确定i+1条经线上的第j个点的坐标P（i+1，j），这两个点是在同一条纬线上，设计思路基本与构造种子曲线相同，过P（i，j）点的切平面与下一条光线OPi+1j（γi+1，θj）的交点即为P（i+1，j），这样可以根据i条种子线上的任意一点，求得i+1条经线上的相同纬线上的点的坐标。当获得i+1条经线上所有采样点重复上述过程就可以获得第i+2条种子曲线，不断重复上述过程可以获得所有经度方向的曲线。

图3-8 自由曲面种子线及其他经度曲线构造

图3-9 真实法向量与理论计算法向量之间的偏差

3.自由曲面构造过程中的偏差控制

当通过步骤1得到透镜的第一条种子线后，可根据步骤2获得1/4透镜上的所有点，但此过程仅保证了纬度方向上相邻点在同一切平面，并不能保证同一经度上相邻点在同一切平面上，且由于整个过程都采用近似处理，导致了偏差逐步积累，使得后续计算得到的点的单位法向量与其真实单位法向量之间存在一个很大的偏差角θd。此偏差角可由透镜表面上点的相对位置计算出来，如图3-9所示，通过步骤2中曲线构造方法，曲线Ci+1上的点可以从曲线Ci计算出来。计算出来的法向量在P点处为N。当P1点接近于P点时，P点处的一个切向量可以表示为。同样另一个切向量→。由此可计算出P点处的真实法向量为

则真实单位法向量与理论计算单位法向量的偏差角θd为

为了控制这一偏差，设定偏差阈值角θt，在计算过程中一旦计算出来的单位法向量与真实单位法向量的夹角大于偏差阈值角时，计算出来的经线视为无效，在该处按种子线的计算方法重新计算经线，这样能有效地控制经线计算过程的偏差。由于偏差控制的引入，使得重建的曲线与之前的曲线不连续，结果使这种不连续性引入到光学表面上。

4.构造非连续自由曲面透镜

将计算得到的种子线点云在犀牛软件（CAD建模软件）中构建成一个非连续的自由曲面，因为计算过程是针对光源的1/4区域，因此得到面形也是整个面形的1/4，再用镜像命令构建出整个非连续自由曲面，透镜的内表面是以光源为球心的一个球面。将设计完成的自由曲面透镜进行光线追迹，模拟分析设计结果，如不满足要求，则对透镜设计过程中的透镜与目标面划分数、偏差阈值角等参数进行优化调整，直到满足或接近要求，完成设计。