第一章 阿基米德

有一位名叫赫拉克利德斯的人1曾撰写过阿基米德的生平传记,但该传记未能存留至今,人们所知的阿基米德生平细节出自许多不同来源2。据策策斯(Tzetzes)所述3,阿基米德死时75岁,因为他死于叙拉古陷落时(前212),所以他很可能生于公元前287年。阿基米德是天文学家菲迪亚斯4的儿子,他与国王希伦和国王的儿子(或者是亲戚)革隆关系十分密切。根据狄奥多罗斯(Diodorus)的一段文字5,阿基米德曾在亚历山大居住过相当长一段时间,这也许意味着他曾与欧几里得的后继者们一起做过研究工作。可能就是在亚历山大,他结识了来自萨摩斯的科农。对科农,无论是作为数学家还是作为私人朋友,他的评价都很高。他也在那里结识了厄拉多塞。阿基米德习惯于在发表新成果之前与科农沟通,他也曾把有名的牛群问题的要点寄给厄拉多塞。他还曾把自己的几部作品题献给另一位朋友,来自佩鲁西乌姆的多西休斯,科农的学生,多西休斯应该住在亚历山大,但题献日期在阿基米德离开亚历山大之后。

回到叙拉古以后,他把全部精力用于研究数学。同时又发明了许多精巧的机械,并因此而出名。但这些对他而言只是“几何之余的消遣”6,对之他并不看重。按照普鲁塔克的说法:“他拥有的心灵是如此高傲深邃,他拥有的科学知识是如此博大精深,虽然他的这些发明使人们把他看得神乎其神,他却并无让这些东西留下任何书面资料的打算,他把机械和所有工程技艺都视为低下无奇的平庸,他把自己的全身心投入与生活中的一般需求并无交集的精妙绝伦的思想之中。”7事实上,他只写过一本机械类的书《论球的制作》8,对之我们后面还要提及。

他发明的一些机械,在抵御罗马人围城攻打叙拉古时十分有用。他设计的投石机种类繁多,构思巧妙,有些是通过城墙上的孔洒下碎石雨,还有一些配备有可移动的长杆,既可越过城墙,投射重物于敌人的战船,又可用铁臂或类似于起重机抓斗的东西抓住战船的船首高高举起,然后放开使战船重重落下。9 据说马塞勒斯(Marcellus)曾用以下话语激励他自己的工程师和工匠:“难道我们不应该最终打败这个几何百手巨人(布里亚柔斯)吗? 他悠闲地坐在海边,随便出个点子,抛掷玩弄我们的战船令我们大惊失色,并用阵阵碎石雨伤害我们,简直胜过那百手巨人。”10但这一敦促并未奏效,罗马人的恐惧是如此之巨大,以致“只要看见一条绳索或一段木头伸出城墙,他们就会哀号,‘噢,他又来了’,断定阿基米德又在开动某种机器攻击他们,于是他们赶紧逃跑,马塞勒斯无计可施,只得停止一切冲突和攻击,寄全部希望于长期围城之中”。11

如果我们所知的确凿无误,阿基米德既活在,也死于对数学的冥思苦想之中。对他死亡情形的各种精确描写在细节上颇有出入。例如李维(Livy)只是说,叙拉古陷落后陷入一片混乱之中,但阿基米德仍全神贯注于他在尘土上绘制的一些图形,他被一名士兵所杀,但那名士兵并不知道他是谁。12 普鲁塔克则在以下文字中给出了另外几种说法。“马塞勒斯对阿基米德的死亡最为悲伤。因为像是命中注定的那样,阿基米德正专心致志于一个图形以解决一些问题,无论是心力还是眼神都专注于研究,他根本没有注意到罗马人的入侵和城市的陷落,因此当一名士兵突然到来并命令他去见马塞勒斯时,他拒绝了并说要先解出这个问题。士兵因此大怒,拔剑杀死了他。另一种说法是,罗马人拔剑出鞘要杀他,但阿基米德诚恳地请求罗马人等一小会儿,因为那样不至于使他的问题悬而未决,但罗马人未予理会,还是把他杀死了。还有第三种说法说他带着他的数学仪器、日晷、球和调整到太阳视尺寸的角规去马塞勒斯处,途中遇到几名士兵,他们以为他的容器里有黄金,便杀死了他。”13这类故事最形象化的说法是,他对一名来到他近旁的罗马士兵说:“兄弟,离我的图形远一点。”于是士兵大怒而杀死了他。14 佐诺拉斯(Zonaras)对这个故事添油加醋,他描述阿基米德说了 ,无疑使人联想起普鲁塔克的第二种说法,这也许是后人绘声绘色而成的最不靠谱的故事。

据说阿基米德曾请求他的朋友和亲戚在他的墓碑上放置表现圆柱主体内部有相切圆球的一个物体,并在其上镌刻圆柱体与圆球的体积之比及它们的面积之比。15 由此我们可以意识到,他把这个比值的发现(《论球与圆柱》卷I命题33,34)看作他一生最大的成就。时为西西里岛财务官的西塞罗找到了这个被废弃的墓,并对之进行了修缮。16

除了以上关于阿基米德生平的情况,我们只有一些故事而并无别的殷实资料,这些故事尽管并非那么确凿,却能帮助我们认识这位最独特的古代数学家的个性,对于这一认识,我们无意改变。为了说明他十分专注于他的抽象研究,我们知道他会忘记食物和其他生活必需品,他还会在炉灰上勾画几何图形,甚至他会在身上抹油,然后在上面绘图。17 类似的还有以下众所周知的故事,当他在浴室里解出了希伦向他提出的问题(如何确定纯金的王冠并未包含白银)的答案时,他裸体跑到街上狂奔回家,高喊“找到了! 找到了!”18

根据帕普斯19、20所述,通过解决用给定力移动给定重量这个问题,阿基米德道出了他的名言,“给我一个支点,我就能撬动地球”。普鲁塔克说阿基米德曾对希伦宣称,用一定的力可以移动任何重量的物体,基于其论证的说服力,阿基米德还断言,如果存在另一个地球,他可以去那里撬动我们的地球。“希伦大为吃惊,要求他通过实例来展示如何用很小的力来移动很大重量的物体。他从国王的船队里找了一条刚被众人用尽力气拖动过的三桅船,让许多乘客上船并在船上满载货物,自己则端坐在远处,手持穿过一组滑轮中缆绳的末端,轻松拉动缆绳,三桅船就平稳安全地移动了,就像在海面上航行一般。”21据普罗克勒斯(Proclus)所述,这艘船是希伦下令建造送给托勒密国王的,全部叙拉古人协力都未能使它下水,阿基米德设计的机械却使希伦凭一己之力就能移动它,希伦因此宣示:“从今天开始,我们必须对阿基米德言听计从。”22这个故事确认了阿基米德发明了某种机械装置来移动大船,从而也用实例展示了他的理论,但所用的机械未见得就是普鲁塔克所说的滑轮组,因为阿忒那奥斯(Athenaeus)23对同一事件的描述中提到应用了螺杆。这个术语应该指的是与帕普斯描述过的某种装置(κοχλίας)相类似的机械,其中有一个用手柄转动的圆柱形螺杆,螺杆进而驱动一个斜齿轮。24 然而帕普斯描写的是希伦的装置,而且他明确表示它出自希伦,但他从未提及阿基米德发明了任一装置,无论是,或者特别是。另一方面,加伦(Galen)提到了滑轮组25,而奥尔巴西乌斯(Oribasius)提到了三联滑轮()26,它们均为阿基米德的发明。三联滑轮这个名称或许是因为它有三个轮子[维特路维乌斯(Vitruvius) ],或许是因为它有三段绳索(奥尔巴西乌斯)。无论如何,船一旦启动,就容易用三联滑轮或滑轮组保持它继续运动,但阿基米德一定用了一个带有螺杆的装置(类似于)来启动它。

与移动地球的话语相关联,出现了另一个装置的名字。策策斯的版本是,“给我一个支点,我将用一个杠杆来移动整个地球”27;但在另一段文字里28,他用这个词,因此可以认为这两个词指的是同一件东西29。

这里正好方便提及阿基米德发明的其他机械,其中最有名的汲水螺杆30(也称),显然是阿基米德在埃及发明的,该机械被用于农田灌溉,也被用于从矿井或船舱中抽水。

另一个发明是一个用来模拟太阳、月亮和五颗行星在天空中的运动的球形装置。西塞罗亲眼看到这个装置并予以描述31,说它表示了月亮的周期和太阳的视运动,其精度是如此之高,甚至可以用它来演示(短期内的)日食和月食。胡尔奇猜想它是水力驱动的。32 如上所述,我们从帕普斯那里知道,阿基米德写了一本关于如何构建这样的一个球的书(),帕普斯还在某处提到,“他是懂得怎样制作一个球,并借助水的规则圆周运动来制造一个天体模型的人”。无论如何,阿基米德对天文学甚为精通。李维称他为“独树一帜的星空观测家”。喜帕恰斯则说:“从那些观测可以很清楚地看出,每一年的长度的差别总是很小,但就至日而言,我几乎认为(),我和阿基米德都在观测和由之得到的推论方面差了四分之一天。”33由此看来,阿基米德考虑了每一年的长度问题,阿米亚诺斯(Ammianus)也提到了这一点。34 马克罗毕乌斯(Macrobius)说阿基米德测定了行星之间的距离。35 阿基米德在《数沙者》中描述了自己用来测量太阳的视直径或即视角的一种仪器。

关于他用凸透镜或凹透镜使罗马战船着火的故事,在卢西恩(Lucian)之前并未被任何权威作者提到过36;此外,所谓的阿基米德盒子(一种智力玩具,由可以拼成一个正方形的14块不同形状的象牙片组成)不能被认为是他的发明37,所以这个名称也许只是用来表示这种玩具构思的巧妙,就像阿基米德问题只是指一个很难的问题一样38。

1 尤托西乌斯(Eutocius)曾在他对阿基米德的著作《圆的度量》的评论中提到过这本传记。他在对阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》的评论(ed. Heiberg,Vol. II. p.168)中又提及该传记,但他把赫拉克利德斯的名字错拼为。这位赫拉克利德斯可能就是阿基米德本人在他的著作《论螺线》的前言中提到的赫拉克利德斯。

2 这些材料的一个详尽汇总见海贝格的《解读阿基米德》(1879)。托雷利版的前言也给出了要点,书中(pp. 363-370)大量引用了关于阿基米德发明的机械的大多数原始文献。再者,泡利-维索瓦(Pauly-Wissowa)编写的“经典古代科学现代百科丛书”中胡尔奇的文章“阿基米德”给出了所有已知信息的极佳汇总。又见苏塞米尔(Susemihl)的《亚历山大时期希腊文献历史》,I. pp. 723-733。

3 Tzetzes,Chiliad.,II. 35,105。

4 在他的著作《数沙者》中,阿基米德提到了菲迪亚斯, {最后几个词是布拉斯[Blass]对原文中的纠正}。参见Gregor. Nazianz. Or. 34,p. 355,Schol. Clark,a Morel,。

5 Diodorus v. 37,3,

6 Plutarch,Marcellus,14。

7 Plutarch,Marcellus,17。

8 Pappus VIII. p.1026 (ed. Hultsch)

9 Polybius,Hist. VIII. 7-8;Livy XXIV. 34;Plutarch,Marcellus,15-17。

10 Plutarch,Marcellus,17。

11 同上。

12 Livy XXV. 31. Cum multa irae,multa auaritiae foeda exempla ederentur,Archimedem memoriae proditum est in tanto tumultu,quantum pauor captae urbis in discursu diripientium militum ciere poterat,intentum formis, quas in puluere descripserat,ab ignaro milite quis esset interfectum;aegre id Marcellum tulisse sepulturaeque curam habitam,et propinquis etiam inquisitis honori praesidioque nomen ac memoriam eius fuisse.

13 Plutarch,Marcellus,19。

14 Tzetzes,Chiliad.,II. 35,135;Zonaras IX. 5。

15 Plutarch,Marcellus,17 ad fin。

16 Cicero,Tusc. v. 64 sq。

17 Plutarch,Marcellus,17。

18 Vitruvins,Architect. IX. 3。关于阿基米德解出该问题之可能方法的说明,见《论浮体》卷I命题7之后的附注(本书317页及以后)。

19 Pappus VIII. p.1060。

20 亚历山大的帕普斯(古希腊语:,约290—约350),伟大的数学家,著有《数学汇编》(Synagoge)一书,该书记录了许多重要的古希腊数学成果,在数学史上意义重大。本书中对他的引用甚多。——译者注

21 Plutarch,Marcellus,14。

22 Proclus,Comm. on Eucl. I.,p. 63(ed. Friedlein)。

23 Athenaeus v. 207A-b, · ,同样的陈述见于Eustathius ad Il. III. p.114(ed. Stallb. ) 。

24 Pappus VIII. pp.1066,1108 sq.

25 Galen,in Hippocr. De Artie.,IV. 47(=XVIII. p. 747,ed. Kühn)。

26 Oribasius,Coll. med.,XLIX. 22(IV. p. 407,ed. Bussemaker),与有关的发明,在同一段文字中描述。

27 Tzetzes,Chiliad.,II.130。

28 同上书,III. 61,。

29 海贝格比较了Simplicius, Comm. in Aristot. Phus. (ed. Diels, p.1110,1,2),

30 Diodorns I. 34,V. 37;Vitruvius X.16(11);Philo III. p. 330(ed. Pfeiffer);Strabo XVII. p. 807;Athena-cus V. 208 f.

31 Cicero,De rep.,I. 21-22;Tusc,I. 63;De nat. deor.,II. 88. Cf. Ovid,Fasti,VI. 277;Lactanitius,Instit.,II. 5, 18;Martianus Capella,II. 212,VI. 583 sq. ;Claudian,Epigr.18;Sextus Empiricus,p. 416(ed. Bekker)。

32 Zeitschrift f. Math. u. Physik(hist. litt. Abth. ),XXII. (1877),106 sq.

33 Ptolemy,,I. p.153。

34 Ammianus Marcell.,XXIV. i. 8。

35 Macrobius,in Somn. Scip.,II. 3。

36 同样的故事也被普罗克勒斯在Zonaras XIV. 3中叙述过。关于这个问题的其他参考资料,见海贝格的《解读阿基米德》,pp. 39-41[4]。

37 根据1906年发现的抄本,这确实是阿基米德的发明,见本书《阿基米德的方法》368 页及以后。——译者注

38 亦见Tzetzes,Chiliad.,XII. 270,。