1.1.2　函数的概念

定义　设x、y为同一过程的两个变量.若对非空数集D中任一x(记为∀x∈D)，按一定法则f在数集M中存在唯一确定的值y与之对应，则称f是定义在D上的函数，记为y=f(x).

x称为自变量，y称为因变量或函数.自变量的取值范围D称定义域，因变量 y相应的取值所成的集合称为函数的值域.

当x取数值x0∈D时，与x0对应的y的数值y0称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，常记为f(x0)、y(x0)、y|x=x0.

例2　y>x不是函数关系.

解　函数的定义要求对任一x值，存在唯一确定的y值与之对应.本例按对应法则，对任一x值，有无数多个y值与之对应，故y>x不符合函数的定义，所以其不是函数关系.

例3　讨论由关系式x2+y2=1确定的函数.

解　原式可解出由函数定义可知，它是定义在同一定义域D=[-1,1]上的两个函数和

如果对应法则在整个定义域D上不能用一个解析式表示，而必须把D分为若干部分，在各部分要用不同的解析式表示，则这样的函数称为分段函数.

例4　绝对值函数

和符号函数

虽然形式上都可以写为一个式子，但是，当x属于不同区间时，函数的解析式不同。因而，它们都是分段函数，图形分别如图1-1、图1-2所示.

例5　在生理学研究中，有人根据血液中胰岛素浓度C(t)(单位/mL)随时间t(min)变化的数据，建立经验公式，即

求胰岛素浓度函数C(t)的定义域.

解　胰岛素浓度C(t)是时间t的分段函数，定义域D=[0,5]∪(5,+∞)=[0,+∞).

定义域和对应法则决定了函数的构成，是函数的两要素.两个函数只有在其定义域及对应法则都相同时，它们才是相同的.

例6　y=sin2x+cos2x与u=1是相同的函数.

解　虽然变量用的字母不同、解析式的形式不同，但它们的定义域与对应法则相同.因此，它们是相同的函数.

例7　y=x与w=|t|是不同的函数.

解　虽然定义域都为(-∞,+∞)，但它们的对应法则不同，因此，它们是不同的函数.