1.1.4　函数的几个特性

有些函数具有一些特殊的性质，利用这些特性可方便对这些函数进行研究.

1.奇偶性

设f(x)的定义域D关于原点对称，若∀x∈D，总有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.偶函数的图形关于纵轴对称.

若∀x∈D，总有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数.奇函数图形关于原点对称.

例如：y=x2及y=cosx在定义域内是偶函数，及y=sinx在定义域内是奇函数，y=x+cosx是非奇非偶函数.

2.单调性

若区间I⊂D，∀x1，x2∈I，当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上单调递增；若区间I ⊂D，∀x1，x2∈ I，当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上单调递减.

单调递增函数的图形沿横轴正向上升，单调递减函数的图形沿横轴正向下降.例如：函数y=x2在区间(-∞,0)单调递减，在区间(0,+∞)单调递增，在整个(-∞,+∞)不是单调的.

3.有界性

区间I⊂D，若存在常数M(记为∃M(常数))，对∀x∈ I，总有f(x)≤M，则称f(x)在区间I有上界M；若总有f(x)≥M，则称f(x)在区间I有下界M.若f(x)在区间I既有上界又有下界，则称f(x)在区间I有界.有上界函数的图形位于某水平线下方，有下界函数的图形位于某水平线上方.例如：函数y=sinx在整个区间(-∞,+∞)上有界；函数在区间(-∞,0)有上界而无下界、在区间(0,+∞)有下界而无上界.

4.周期性

若∃m(非零常数)，使∀x∈D，如果x+m∈D，总有f(x+m)=f(x)，则称f(x)为周期函数，称m为它的周期.周期函数的图形按周期循环出现.例如：常值函数y=C是以任意非零常数为周期的周期函数，三角函数y=sinωx是以为最小正周期的周期函数.