46．cgs函数

在MATLAB中，提供了cgs函数实现共轭梯度二乘法。函数的语法格式为：

x＝cgs（A，b）：针对x对线性方程组A∗x＝b求解。n×n系数矩阵A必须是方阵，并且为大型稀疏矩阵。列向量b必须具有长度n。可以将A指定为函数句柄afun，这样afun（x）将返回A∗x。

如果cgs收敛，则会显示一条有关该结果的消息。如果cgs无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会输出一条显示相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）以及该方法停止或失败时所达到的迭代数的警告消息。

cgs（A，b，tol）：指定方法tol的容差。如果tol为[]，cgs使用默认值1e－6。

cgs（A，b，tol，maxit）：指定最大迭代次数maxit。如果maxit为[]，则cgs使用默认值min（n，20）。

cgs（A，b，tol，maxit，M）和cgs（A，b，tol，maxit，M1，M2）：使用预设子条件M或M＝M1∗M2，并高效求解关于x的方程组inv（M）∗A∗x＝inv（M）∗b。如果M为[]，cgs不会应用预设子条件。M可以是函数句柄mfun，这样，mfun（x）返回M\x。

cgs（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：指定初始估计值x0。如果x0为[]，cgs使用默认值（即全部为零的向量）。

[x，flag]＝cgs（A，b，…）：返回解x和描述cgs的收敛的标志，flag的取值及说明见表1-1。

如果flag不为0，返回的解x具有在所有迭代中最小的范数残差。如果指定flag输出，则不会显示消息。

[x，flag，relres]＝cgs（A，b，…）：还返回相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）。如果flag为0，则relres≤tol。

[x，flag，relres，iter]＝cgs（A，b，…）：还返回计算x时所达到的迭代数，其中0≤iter≤maxit。

[x，flag，relres，iter，resvec]＝cgs（A，b，…）：还返回每次迭代中的残差范数的向量（包括norm（b－A∗x0））。

【例1-48】使用带有矩阵输入的cgs。

运行程序，输出如下：

     cgs在解的迭代11处收敛,并且相对残差为5.5e-13。