51．symmlq函数

在MATLAB中，提供了symmlq函数实现对称的LQ方法。函数的语法格式为：

x＝symmlq（A，b）：针对x对线性方程组A∗x＝b求解。n×n系数矩阵A必须是对称的，但无须是正定的。此外，它还应是大型稀疏矩阵。列向量b必须具有长度n。可以将A指定为函数句柄afun，这样afun（x）将返回A∗x。

如果symmlq收敛，则会显示一条有关该结果的消息。如果symmlq无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会输出一条显示相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）以及该方法停止或失败时所达到的迭代数的警告消息。

symmlq（A，b，tol）：指定该方法的容差。如果tol为[]，symmlq使用默认值1e－6。

symmlq（A，b，tol，maxit）：指定最大迭代次数。如果maxit为[]，symmlq使用默认值min（n，20）。

symmlq（A，b，tol，maxit，M）和symmlq（A，b，tol，maxit，M1，M2）：使用对称正定预设子条件M或M＝M1∗M2，并高效求解关于y的方程组inv（sqrt（M））∗A∗inv（sqrt（M））∗y＝inv（sqrt（M））∗b，然后返回x＝in（sqrt（M））∗y。如果M为[]，symmlq不会应用预设子条件。M可以是函数句柄mfun，这样，mfun（x）返回M\x。

symmlq（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：指定初始估计值。如果x0为[]，symmlq使用默认值（即全部为零的向量）。

[x，flag]＝symmlq（A，b，…）：也返回一个收敛标志，其取值见表1-4。

如果flag不为0，返回的解x具有在所有迭代中最小的范数残差。如果指定flag输出，则不会显示消息。

[x，flag，relres]＝symmlq（A，b，…）：还返回相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）。如果flag＝0，则relres≤tol。

[x，flag，relres，iter]＝symmlq（A，b，…）：还返回计算x时所达到的迭代数，其中0≤iter≤maxit。

[x，flag，relres，iter，resvec]＝symmlq（A，b，…）：还返回每次迭代中的symmlq残差范数估计值的向量（包括norm（b－A∗x0））。

[x，flag，relres，iter，resvec，resveccg]＝symmlq（A，b，…）：还返回每次迭代中的共轭梯度残差范数的估计值向量。

【例1-52】本示例演示如何使用带有矩阵输入的symmlq。

运行程序，输出如下：

     symmlq converged at iteration 49 to a solution with relative
     residual 4.3e-015
     symmlq在解的迭代49处收敛,并且相对残差为4.3e-15。