1.4 交易的骗局——令人瞠目的几何级数
在日常的交易中，难免上当受骗。有时会遇到骗子耍弄一些数字游戏欺骗善良的人们，而人们很可能因为缺乏数学常识而钻进骗子的圈套。下面这道有趣的数学题虽然有些极端，但它反映了一个真实的数学现象——惊人的几何级数增长。
某人卖马一匹得156卢布，但是买主买到马后懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱，于是卖主向买主提出了另一个计算马价的方案，他说：“如果你嫌马太贵了，就只买马蹄的钉子好了，马就算白送给你了。每个马蹄上有6个钉子，第一枚卖1/4戈比，第二枚卖1/2戈比，第三枚卖1戈比，后面的钉子价格以此类推，你把钉子全部买下，马就白送给你。”买主以为这些钉子总共也花不了10卢布，还能白得一匹好马，于是欣然同意了，结果买主一算账才明白上了当。请问：买主在这笔买卖中要亏损多少钱？
注：100戈比=1卢布
分析
乍一看就是买马蹄子上的24个钉子，第一枚1/4戈比，第二枚1/2戈比，第三枚1戈比……依此类推，看起来钱不会很多，虽然后一枚钉子的价格是前一枚钉子价格的2倍，但是毕竟第一枚的价格很低（仅有1/4戈比），而且总共才24枚钉子。如果你这样想那就太低估几何级数增长的威力了。让我们算一算这样买钉子究竟要花掉多少钱。
设ai为第i枚钉子的价格，那么可得到通式
现在我们要计算的是
，i即a1+a2+a3+…a24，根据等比数列的求和公式
，很容易得出
所以这个商人要支付卖主4 194 303.75戈比来买这24个钉子。4 194 303.75戈比等于41 943.037 5卢布，而最初这匹马的定价为156卢布，看来买主在这场交易中亏损了41 943.037 5-156=41 787.037 5卢布。
这个买马的商人之所以会损失惨重，就是因为他不懂得几何级数增长这个数学概念。在数学中几何级数又被称为等比级数，它定义为：
其中q为公比，当|q|<1时，该级数收敛，也就是存在一个确定的和，当|q|≥1时，该级数发散，也就是该级数的和趋于无穷大。
所谓几何级数增长就是指数列的每一项按照几何级数的形式成倍增长。当|q|>1时，几何级数增长的速度是非常快的，后一项都是前一项的q倍。正如本题中所展示的，第一枚钉子仅价值1/4戈比，之后每一枚钉子都是前一枚的2倍价格，第24枚钉子就价值（1/4）×224-1=2 097 152戈比了。这样累加起来，24枚钉子的价格就变成非常庞大的数字。
知识扩展
舍罕王赏麦的故事
类似的数学题目还有古印度的一道名为“舍罕王赏麦”的问题。
舍罕王是古印度国的一个国王，他的宰相达依尔为了讨好舍罕王发明了今天的国际象棋，并将其作为礼物献给了舍罕王。舍罕王十分高兴，要赏赐达依尔，并许诺可以满足达依尔的任何要求。狡猾的达依尔指着桌上的棋盘对舍罕王说：“陛下，请你按棋盘上的格子赏赐我一些小麦吧，第一个格子赏我1粒小麦，第二个格子赏我2粒小麦，第三个格子赏我4粒，以后每一个格子都比前一个格子麦粒数增加1倍即可，只要把棋盘上的全部64个格子填满，我就心满意足了。”舍罕王觉得区区几粒小麦，微不足道，就满口答应下来，结果当舍罕王计算麦粒时却大惊失色。请问舍罕王计算的结果是多少粒麦子？
这个问题和上面卖马的问题如出一辙。第一个格子的麦粒数为1，第二个格子的麦粒数为2，第三个格子的麦粒数为4，…，第64个格子的麦粒数为264-1，这样64个格子的麦粒数加在一起就是
舍罕王要赏赐达依尔18 446 744 073 709 551 615粒小麦。根据常识，每千克小麦大约17 200～43 400粒，我们取中间值30 000粒/kg，那么18 446 744 073 709 551 615粒小麦大约614 891 469 123 651.720 5kg，这真是一个天文数字啊！
从上面两题目中我们看到几何级数增长速度之快是令人瞠目的。几何级数的增长速度是最快的增长速度，其核心在于每一项的指数增长，也就是每一项的不断翻倍，我们形象地称这种不断翻倍的急速增长为“指数爆炸”。从一开始的1粒小麦，瞬间就增长到264-1=9 223 372 036 854 775 808粒小麦，这真的如同爆炸一样！利用这种“指数爆炸”的特性，我们可以解决很多实际的问题，在下面的两节中你会看到这一点。