1.2 非线性效应

实际工作中，晶体管受到沟长调制效应和背栅效应（或称体效应）的影响导致系统存在非线性效应。由泰勒级数展开式可建立非线性系统的工作模型：

式中，a0为直流项；a1为系统线性增益；an,n=2,3,4,⋯，为各高阶项增益系数。

1.2.1　谐波现象

谐波现象是非线性系统频率增生效应的一个典型结果，一个单音信号x(t)=Acos(ωt) 输入至一个非线性系统后，可得如下结果：

相较于输入信号，经过非线性系统后的输出信号额外增加了包括直流在内的各次谐波成分。式（1-2）中的cos(ωt) 项被称为基波项，是系统线性性能的体现。谐波现象在射频集成电路的设计中并不是一个主要的考虑因素，因为谐波频率项会被本级的寄生极点产生的低通滤波效应和后级的低通或带通滤波器有效地压制，不会对链路造成太大影响。而且对于单音信号，不论是基波项还是非线性效应产生的谐波项，均没有引入额外的相位值。但是，如果输入信号不是单音信号，非线性效应引入的谐波项会通过混频在带内增生出额外的频率项，而且此频率项的相位与混频信号之间的相位差有关，因此对于宽频信号，非线性效应带来的不同频率项之间的混频会同时改变带内某频率处有效信号功率的幅度和相位，严重影响系统的噪声性能。同时考虑幅度和相位因素后，干扰频率项与原有效信号的叠加会从标量相加变至矢量相加，对系统的影响均是增大了带内噪声，因此后续的定性分析中仅考虑幅度因素。

1.2.2　增益压缩

增益压缩产生的原因很容易理解，任何一个实际系统都有一个工作的输入幅度极限，超过该极限，即使输入幅度继续增大，受限于电源电压的影响，输出幅度也会在一定的范围内稳定下来，系统增益幅度持续下降。该现象可以根据式（1-2）中的线性项进行直观的解释。只考虑线性项，可知系统提供的增益为

式中，系数a1的符号与a3的符号相反（在射频集成电路设计领域，如以CMOS晶体管为基础进行的各种电路设计，几乎都存在增益压缩的情况：如果a1的符号与a3的符号相同，则增益随着输入幅度的增大呈现指数增长的形式，与实际不符；如果a1的符号与a3的符号相反，则随着输入幅度的增大会逐渐出现增益压缩的现象）。随着输入幅度的增大，二阶项的增大速度较快，逐渐占据优势，因此系统的增益幅度呈现明显的下降趋势。为了衡量系统的增益压缩性能，通常引入1dB输入增益压缩点作为衡量参数。1dB输入增益压缩点定义为当系统增益下降1dB时对应的输入信号幅度。理想情况下，系统的增益为a1，假设输入信号的幅度为时，系统的增益幅度下降了1dB，则有

因此可得

1dB输入增益压缩点是射频集成电路设计中一个非常重要的指标，其通常限制了所设计电路能够承受的最大输入信号幅度。1dB输入增益压缩点设计得越大，电路能够承受的动态范围也会越大。在进行实际射频芯片1dB输入增益压缩点的定量化测试时，经常采用在某一频率处注入单音信号绘制增益曲线的方式进行，如图1-2所示。1dB输入增益压缩点通常采用功率化的方式来表示，符号标记为IP1dB，则有

式中，Z0为信号源输出电阻，典型情况下为50Ω，也是射频集成电路的阻抗匹配值。

1.2.3　减敏（阻塞）现象

减敏现象是指系统对输入有效信号的响应敏感度下降，或者说变得迟钝，这种情况通常发生在存在较大阻塞信号时。例如，存在两个不同频率的单音信号同时输入至一个系统中，输入信号的表达式为

x(t)=A1cos(ω1t)+A2cos(ω2t)

（1-7）

式中，ω1频率项代表有效信号；ω2频率项代表阻塞信号。将式（1-7）代入式（1-1）可得

阻塞信号的幅度通常远大于有效信号的幅度，即A2≫A1，则式（1-8）可化简为

1.2.2节已经提到过，a1的符号与a3的符号相反，因此在存在较大阻塞信号的情况下，系统的线性增益会被明显地压缩，此现象称为减敏现象或阻塞现象。为了极力避免减敏现象的出现，射频集成电路的前端通常需要接入一个频带选择滤波器对带外强干扰信号进行滤除，保证射频集成电路工作的正常性。减敏现象也可以通过增益压缩的概念来解释，较强的阻塞信号（带外干扰信号）会导致系统产生增益压缩现象致使系统对外的增益下降，因此会降低系统对有效信号响应的敏感度。

频带选择滤波器对相邻频带的抑制比需要根据实际的设计需求来确定。如果要求即使存在最大功率为PI,max的干扰信号，系统在有效信号最小功率为PS,min的情况下也不能发生阻塞（此处阻塞的含义为信号被完全压制），则有（假设a1的符号为正，a3的符号为负）

式（1-10）是在没有考虑频带选择滤波器的情况下得出的，假设频带选择滤波器对干扰信号所处频带（通常为相邻频带）的抑制比为L（幅度抑制比），并将式（1-5）有关1dB输入增益压缩点的计算结果代入式（1-10），可得

式中，；。同时，式（1-11）也可以作为IP1dB的一个设计约束，当给定了PI,max、PS,max和抑制比L后，便可以得到IP1dB的最小需求值，综合考虑有效信号的最大输入功率，两者取最大值，便可得到IP1dB最终的设计目标。

1.2.4　互调现象

互调现象是指如果干扰信号存在幅度调制的情况，则系统的非线性效应会将此幅度调制现象“搬移”至有效信号的幅度项中。此现象可以由式（1-9）清晰地观察到，如果干扰信号的幅度项A2被调制，则有效信号项的幅度同样也会被调制。对于一个存在较强幅度调制干扰信号的输入信号：

式中，m为幅度调制系数；ωm为幅度调制频率。将式（1-12）代入式（1-9）可得

可以看出，干扰信号中的幅度调制效应被“搬移”到了有效信号的幅度项中，并且增生出了2ωm频率项。这种现象在通信系统中是经常发生的。为了节省通信带宽并避免多径效应，也常使用OFDM/QAM的调制方式，多频同时通信，且每个频带内均存在幅度调制现象，导致互调现象通常无法有效地避免。相位或频率调制是否也存在互调现象？由于相位调制为频率调制的积分，因此两者可以等价分析。假设输入信号中包含一个相位调制的干扰信号：

代入式（1-1），可得如下等式（仅保留有效信号项）：

由式（1-15）可知，对于相位调制的干扰信号，不会在有效信号处产生互调现象。因此在OFDM通信系统或其他多工多频的通信模式中，为了避免互调现象的出现，调制方式可以采用具有恒幅性质的相位调制或频率调制方式。

1.2.5　交调现象

射频集成电路中的交调现象是由各输入频率谐波项（系统的非线性引起的）经过混频（此处的混频不是混频器引入的，而是非线性引入的混频现象）引入的。交调项包括二阶交调项、三阶交调项、四阶交调项等，但是仅有二阶交调项和三阶交调项会对射频系统产生影响。和谐波项一样，其他更高阶的交调项会被本级的寄生极点产生的低通滤波效应和后级的低通或带通滤波器有效地压制。仍假设输入信号如式（1-7）所示，经过非线性系统后的各输出频率项（只考虑基波项、二阶项和三阶项）见表1-1，在频域展开如图1-3所示。

在强调交调现象时，需要结合射频集成电路的系统架构来分析（见第5章），一般情况下，二阶交调产生的频率项（ω1±ω2）对零中频架构接收机的影响比较明显，而三阶交调对接收机的影响与系统架构无关。

分别以低中频架构和零中频架构为例对二阶交调和三阶交调现象进行说明。可以这样简单理解：低中频架构的输出部分包含中频载波成分，而零中频架构的输出仅包含基带部分，即其中心频点在直流处。

低中频架构中的二阶交调现象如图1-4所示。零中频架构中的二阶交调现象如图1-5所示。低中频/零中频架构中的三阶交调现象如图1-6所示。可以看出，在ω1和ω2的频率差较小时，如果中频频率选取合适的话，低中频架构基本不会受到二阶交调现象的干扰[低噪声放大器（LNA）产生的二阶交调项会被交流耦合电容滤除，混频器可以近似等效为一个频率搬移过程，下变频后的频率项经过中频滤波后，除了有效中频部分，其他项均会被极大地压制，滤波器本身也会产生二阶交调项，但是同样也会被滤除，可编程增益放大器（PGA）的输入端基本不存在干扰项的频率成分，可以不用考虑其二阶交调性能]。但是，对于零中频结构，由于不存在中频载波，二阶交调项会落入基带信号的有效带宽内而无法滤除，零中频架构中对二阶交调性能要求较高的主要是滤波器。另外，混频器的二阶交调性能也必须考虑其中（图1-5中没有画出，仅将混频器作为一个频率搬移模块，实际上如果混频器中的开关管存在不匹配的情况，二阶交调现象会变得比较明显。在第7章介绍混频器时会详细讨论此部分内容）。对于三阶交调现象，零中频/低中频架构均无法避免，在设计过程中，低噪声放大器、混频器和滤波器的三阶交调性能有时必须仔细设计才能满足系统的设计要求。可编程增益放大器由于滤波器的带外抑制功能，三阶交调性能并不明显。其实对可编程增益放大器的线性性能要求主要在IP1dB上，毕竟经过前几级的放大，即使再微弱的射频信号，到达可编程增益放大器的输入端，也会变得比较明显，需要避免其进入增益压缩状态。

为了衡量系统的二阶交调和三阶交调性能，需要引入两个量化指标：二阶输入交调点（Input 2nd order Intercept Point，IIP2）和三阶输入交调点（Input 3rd order Intercept Point，IIP3）。二阶输入交调点/三阶输入交调点是指两个幅度相等的单音信号（基波）通过一个非线性系统后，如果产生的二阶交调项/三阶交调项的幅度与输出单音信号的幅度相等，此时的输入单音信号对应的功率便被称为二阶输入交调点/三阶输入交调点。但是任何非线性系统对于基波频率均存在增益压缩现象，且随着输入信号的增大，基波项和高阶项受限于系统本身的有限电压幅度，也会逐渐进入输出幅度饱和状态，如图1-7所示，导致基波项和高阶项在几何空间上没有交点。因此，为了便于交调性能的量化，通常取基波与高阶交调项线性部分的延长线交点处对应的输入信号功率作为二阶输入交调点和三阶输入交调点；也可以采用二阶输出交调点（OIP2）和三阶输出交调点（OIP3）的概念来衡量系统的交调性能，输出交调点等于输入交调点与系统增益的乘积。

根据以上定义，如果输入的两个单音信号的幅度达到AIIP2时，满足

则

称为系统的二阶输入交调点。

当输入信号的幅度达到AIIP3时，满足

则

称为系统的三阶输入交调点。

当输入信号的幅度Ain较小时，非线性系统不会发生增益压缩现象，假设对应的输出信号和交调项的幅度分别为Aout和AIM，则下面两式成立：

式中，AIM2为二阶输出交调项。

式中，AIM3为三阶输出交调项。

将式（1-16）代入式（1-20），可得

将式（1-18）代入式（1-21）可得

转换为功率表达可得

由式（1-24）可得出二阶输入交调点的直观测试方法，由式（1-25）可得出三阶输入交调点的直观测试方法：在系统的输入端注入等幅的差频信号（频率分别记为ω1、ω2），通过频谱仪记录各频率成分（包括基波项、二阶项和三阶项），如图1-8所示，并分别代入式（1-24）和式（1-25）可计算出二阶输入交调点和三阶输入交调点。

另外，通过图1-8所示的测试结果以及图1-9所示的二阶输入交调点和三阶输入交调点几何示意图（相关参数已标注图中），同样可以得到式（1-24）和式（1-25）的表达结果，在此不再赘述。

交调项会对系统的信噪比造成严重影响，因此在设计过程中，必须仔细考虑各项干扰情况，设计出合适的交调性能，满足信噪比需求。以三阶交调为例，如图1-10所示，其中ωS为有效信号项，ω1和ω2为干扰项，且满足2ω1−ω2≈ωS。假设此非线性系统对输入信号的灵敏度需求为Psig,in=−80dBm，干扰项的功率Pint,in=−40dBm，通过非线性系统后，为了保证输出信号的信噪比SNR⩾20dB，系统必须具备合适的三阶交调性能。在忽略增益压缩的情况下，下式成立。

将式（1-23）代入式（1-26）可得

则有

如果匹配阻抗为50Ω，则式（1-28）可等效为

另外，由式（1-5）和式（1-18）可知，三阶输入交调点与1dB增益压缩点存在如下关系：

1.2.6　级联系统的非线性特性

如图1-6所示，射频信号的处理过程是一个级联处理过程，整个射频接收机的线性性能需求在各个功能模块中分别体现，以便于后续的电路设计，因此需要建立各功能模块与系统之间的非线性指标关系。

根据上述分析可知，系统的非线性指标包括1dB增益压缩点、二阶输入交调点和三阶输入交调点三个指标，1dB增益压缩点的分配比较简单，在给定最大输入信号功率的情况下，只需保证每个功能模块均不发生增益压缩即可。二阶交调性能不具备明显的级联特性，一个系统中只对其中的某些功能模块（如混频器或滤波器）有严格要求，对不作要求的模块可以将该指标设置成一个较大的值（如低噪声放大器），进而可以分析其级联特性。三阶交调性能具有明显的级联特性（对滤波器后级的电路模块，由于干扰信号被滤波器的阻带抑制，对三阶交调的性能要求大大降低了）。本节主要对三阶交调性能进行详细的分析，同时对二阶交调的级联性能进行简要说明。

两级非线性级联系统的三阶交调效应如图1-11所示，其中两级级联系统的输出和输入分别满足

对于式（1-31）和式（1-32），考虑二次谐波效应、二阶交调效应和三阶交调效应三种非线性效应，每级对应的相应频率项系数见表1-2，其中A1、A2分别为输入的两个单音信号对应的信号幅度。忽略增益压缩效应，可直观得出如图1-12所示的结果。

图1-12中的第一级非线性模块主要提供了基波项、三阶交调项、二阶交调项和二次谐波项。第二级非线性模块针对第一级非线性模块的基波进行线性放大得到最终的基波项信号，而最终的三阶交调项分别是通过对第一级输出的三阶交调项进行线性放大，对第一级输出的基波项和二阶交调项进行二阶交调，对第一级输出的基波项和二次谐波项进行二阶交调，对第一级输出的基波项进行三阶交调得到的，最终的表达式为（仅列出基波项和三阶交调项）

由图1-12可知，三阶交调项系数的中间项是通过两个二阶项系数的乘积得到的，相较于左右两项可以被忽略，因此当输入信号幅度达到级联系统的三阶输入交调点时，下式成立：

式（1-34）表示为功率（单位为W）的形式可得

式中，a1为第一级非线性模块的空载线性电压增益，是一个倍数值，具体可参考1.3.6节中对电压增益的定义。

同理，对于多级级联系统，其三阶输入交调点的级联特性为

可以看出，由于存在前级增益，为了提升系统的线性性能，必须仔细优化设计后级功能模块的线性度。模块在系统中的位置越是靠后，对其线性性能的要求往往越高。但是对于图1-6中的可编程增益放大器来说，由于基波项大部分被滤波器的阻带抑制掉了，因此对可编程增益放大器三阶交调性能的要求不是很强烈，在设计过程中，需要特别注意1dB输入压缩点的设计。

对于二阶交调效应，由图1-12可以得出两级级联系统的二阶交调效应产生机制，如图1-13所示，则有

同样忽略高阶系数项产生的二阶交调项，可得当输入信号幅度达到级联系统的二阶输入交调点时，下式成立：

式中，a1为第一级非线性系统的空载线性电压增益，二阶输入交调点采用单位为伏特（V）的电压形式表示。

同理，对于多级级联系统，其二阶输入交调点的级联特性为

1.2.7　典型放大器结构的非线性表征

放大器是射频集成电路信号链路中的关键模块。微弱的射频信号必须通过放大器的放大作用才能进入模数转换器（Analog to Digital Converter，ADC）的动态范围完成数字化过程，同时较大幅度的信号还可以弥补ADC精度不高带来的信噪比恶化问题。但是过大的信号极易导致放大器中的晶体管脱离饱和区进入非线性状态从而恶化信噪比，因此需要根据通信系统的实际需求来进行各放大器线性性能的设计和优化，并通过反复的迭代过程完成最终设计。为了完成上述工作，必须具备直观优化各类型放大器线性性能的能力。对于任意类型的放大器而言，其输入与输出之间呈现如式（1-1）所示的泰勒级数展开形式，可以分别计算出：

式中，a0为放大器的直流偏置情况；a1为放大器增益；a2和a3分别为放大器处于非线性状态下二阶和三阶谐波项系数。根据具体放大器电路结构特性计算出上述系数后，通过式（1-5）、式（1-16）和式（1-18）可分别定量计算出放大器的1dB增益压缩点、二阶交调点和三阶交调点，并指导放大器模块的线性性能设计和优化。本节主要针对射频集成电路中常用的六种放大器结构—共源放大器、共栅放大器、源简并共源放大器、全差分共源放大器、伪差分共源放大器和源简并差分共源放大器的非线性特性进行定性说明。

1.共源放大器

典型共源放大器电路结构如图1-14所示，其中Vin为输入交流小信号，Vb为共源晶体管栅极偏置电压。在计算共源放大器的非线性特性时，必须考虑晶体管的沟长调制效应，否则如果仅考虑晶体管输出电流与输入电压之间的饱和平方关系，由于不存在三阶项（a3=0），所计算出的1dB增益压缩点和三阶交调点趋于无穷大，明显与实际不符。考虑晶体管沟长调制效应后下式成立：

式中，K=(1/2)μnCox(W/L) ；λ为沟长调制因子。假设共源放大器漏极负载阻抗为ZL，则有VDS=VD−IdZL，其中VD为晶体管漏极偏置电压，Id=gmVin为放大后的小信号电流，gm=2K(Vb−VTH) 为晶体管的跨导。将式（1-44）进行多项式展开后可得

由于λ<<1，则式（1-45）可简化为

对比式（1-1）可得共源放大器漏极直流偏置电流为

共源放大器的跨导为

a1=2K(Vb−VTH)=gm

（1-48）

共源放大器的二阶谐波项系数为

a2=K

（1-49）

三阶谐波项系数为

a3=−KλgmZL

（1-50）

可以看出，三阶谐波项系数与基波系数（跨导）的符号是相反的，这与上述的分析相符，是导致电路能够产生1dB增益压缩的本质原因。

因此，共源放大器的1dB增益压缩点、二阶交调点和三阶交调点分别为

可以看出，共源放大器如果要获得更好的线性性能，可以从两个方面进行设计考虑：一是在寄生效应允许的情况下增大晶体管的沟道长度，降低沟长调制效应对三阶交调性能的影响，并在增益允许的情况下降低负载阻抗；二是在功耗允许的情况下适当提高晶体管的过驱动电压，提升共源放大器的二阶交调性能。

2.共栅放大器

典型共栅放大器电路结构如图1-15所示，其中Vin为输入交流小信号，Vb为共栅晶体管栅极偏置电压。考虑沟长调制效应后，晶体管的漏极电流为

式中，VS为晶体管源极偏置电压；同时假设共栅放大器漏极的负载阻抗为ZL，则有VDS=VD+IdZL−VS−Vin，VD为晶体管漏极偏置电压，Id=gmVin为放大后的小信号电流，gm=2K(Vb−VS−VTH) 为晶体管的跨导。将式（1-54）进行多项式展开后可得

式中，VGS0=Vb−VS，VDS0=VD−VS。同理，式（1-55）可以简化为

对比式（1-1）可得共栅放大器的直流偏置电流为

共栅放大器的跨导为

a1=−2K(VGS0−VTH)=−gm

（1-58）

符号之所以与式（1-48）相反，主要是因为共源放大器与共栅放大器的增益相位差为180°。

共栅放大器的二阶谐波项系数为

a2=K

（1-59）

三阶谐波项系数为

a3=Kλ(gmZL−1)

（1-60）

同样，三阶谐波项系数与跨导的符号是相反的。因此，共栅放大器的1dB增益压缩点、二阶交调点和三阶交调点分别为

可以看出，当共栅放大器的增益gmZL>>1 时，其线性性能与共源放大器相同，具体的优化方法也相同，不再赘述。

3.源简并共源放大器

典型源简并（源极负反馈）共源放大器电路结构如图1-16所示，其中Vin为输入交流小信号，Vb为共源晶体管栅极偏置电压。忽略沟长调制效应后（源简并结构可以在电流展开式中引入三阶谐波项，因此可以忽略沟长调制效应，不会对最后的推导结果引入较大的误差），晶体管的漏极电流ID为

将式（1-64）的两边分别对Vin进行微分可得

由式（1-41）可得源简并共源放大器的等效跨导为

将式（1-65）的两边分别再次对Vin进行微分可得

由式（1-42）可得源简并共源放大器的二阶谐波项系数为

将式（1-67）两边再次对Vin进行微分，可得针对源简并共源放大器漏极电流的三阶导数方程为

由式（1-43）可得源简并共源放大器的三阶谐波项系数为

因此，源简并共源放大器的1dB增益压缩点、二阶交调点和三阶交调点分别为

可以看出，增大源级负反馈能力或增大共源晶体管的过驱动电压均可以有效地改善源简并共源放大器的线性性能。由式（1-66）可知，过大的反馈能力会严重恶化放大电路的增益，设计时需要折中考虑。

4.全差分共源放大器

采用差分结构可以有效地抵消电路中的偶阶非线性项，因此差分结构具有非常高的偶阶线性性能，即其二阶交调性能可以设计得足够高，满足绝大部分通信系统需求，尤其适用于零中频架构接收机（见第5章），但是晶体管之间的失配会恶化差分结构的二阶交调性能（见第7章）。本节主要考虑两种典型的差分结构：全差分共源放大器结构与伪差分共源放大器结构。

典型全差分共源放大器电路结构如图1-17所示。

由图可知以下两式成立：

式中，VS为差分对源极偏置电压；ZL为负载偏置电阻。联立式（1-74）和式（1-75）可得

在电路正常工作的情况下成立，当满足ξ<<1 时，成立，则式（1-76）可以重新表示为

对比式（1-1）可得全差分共源放大器的跨导a1为

全差分共源放大器的三阶谐波项系数为

同样a1与a3的符号相反。全差分共源放大器的三阶交调点为

同理，可以计算出全差分共源放大器的1dB增益压缩点，相较于三阶交调点，降低大约9.6dB。另外，可以明显地看出，全差分结构不存在偶阶交调干扰，且三阶交调干扰可以通过提高晶体管的过驱动电压获得改善，这与直观印象是吻合的。

5.伪差分共源放大器

全差分共源放大器可以有效地隔离来自GND的干扰（其交流电流仅在两个差分支路中往复运动，没有针对GND的直接通路），尤其是在数模混合集成电路的设计中显得更加重要。但是，全差分结构需要消耗一定的电路裕量，不利于低电压设计，同时尾电流源还会对两支路中的电流ID1和ID2引入如式（1-75）所示的约束条件，该约束条件会在其差分电流表达式中引入三阶谐波成分，致使其三阶交调性能与晶体管的过驱动电压直接关联，恶化放大器的奇次谐波性能，因此在对电压裕量和线性性能要求较高的场合，通常采用伪差分共源放大器替代全差分结构。

典型伪差分共源放大器电路结构如图1-18所示。伪差分结构通过引入直接电流对地通路，避免了约束条件式（1-75）的出现，大大缓解了差分结构的非线性性能。采用类似于共源放大器的分析方法，考虑沟长调制效应后，式（1-74）可以重新表达为

式中，VDS1=VD−gmVinZL/2、VDS2=VD+gmVinZL/2，为伪差分对的漏源电压；VD为伪差分对的漏极偏置电压；gm=2K(Vb−VTH)，为伪差分对的跨导；ZL为负载阻抗。伪差分共源放大器的三阶交调点为

相较于单端共源放大器，伪差分共源放大器的三阶谐波项系数更小（增加了一个1/4因子），三阶交调性能也更优。同时伪差分共源放大器与晶体管的过驱动电压也无关，仅与沟长调制因子有关，在选取长沟道晶体管的条件下，具有非常优异的线性性能。只是伪差分结构易受地面干扰的影响，尤其是差分地不对称的情况下，因此在进行版图设计时需要格外留意。

6.源简并差分共源放大器

源简并差分共源放大器是射频集成电路中可编程增益放大器常用的前级电路结构，其具有电路结构简单、功耗较低的特点且可以提供足够的线性性能。典型源简并差分共源放大器电路结构如图1-19所示。由图可知以下各式成立：

ID1+ID2=2ISS

（1-83）

IS=ID1−ISS

（1-85）

由式（1-83）可得

因此，

将式（1-85）代入式（1-84）可得

将式（1-90）两边分别对输入信号Vin进行微分可得

当Vin=0 时，ID1=ID2=ISS，则由图1-19可得源简并差分共源放大器的等效跨导为

将式（1-91）两边分别对输入信号Vin进行微分可得

由式（1-86）可知∂ID1/∂Vin=−∂ID2/∂Vin，且在Vin=0 的条件下，ID1=ID2=ISS，则有

此结论与直观印象相符。将式（1-93）两边再次对输入信号Vin进行微分可得

将式（1-91）、式（1-92）和式（1-94）分别代入式（1-95）可得其三阶谐波项系数为

则源简并差分共源放大器的三阶交调点为

可以看出，在保证功耗不变的情况下，当满足gm=2/RS时，源简并差分共源放大器具有最优的三阶交调性能。