§4 无理数与实数

无论在古代的希腊还是中国，都发现了无理数的存在。不过，古希腊人是从线段不可公度的几何角度来窥探它的；中国则是从开方不尽的计算过程来认识它。一个着眼于几何的“量”，一个倚重于运算的“数”。因而在处理方法上也不同，一个是用逻辑的方法来论证它的结论；一个是用计算的手段来建立它的法则。

4.1 无理数在中国

在《九章算术》开平方术中，对开方不尽数称“以面命之”，即用正方形的“面”（边长）来定义无理数。对开立方也一样。在实用上，中算家认为可“加定法如前，求其微数”，即可以继续退位开方，求其整数之下的“微数”（小数），用十进制小数来表示无理数。在刘徽的注中我们可以看到，刘徽可能已认识到不尽开方数是不能用十进制小数的有限形式来表示的，但可用十进制小数来无限逼近，退至相当位以后，舍弃之数便可忽略不计了。

求微数法即退位开方法，是中国古代开方术计算程序的继续。一方面它是开方术的自然发展，另一方面它与中国古代的度量制度是一脉相承的。在理论上，它较明确地揭示了无理数的本质；在实用上，它可以满足更为精确、更为广泛的实际测量。

4.2 无理数在欧洲

约公元前585年到前500年是古希腊毕达哥拉斯学派的全盛时期，该学派的几何基础是：“点是位置的单位元素。”这里包含了一种质朴的观念：线是由原子次第连接而成的，就像项链由一串珠子连成一样。原子也许非常之小，但都质地相同，大小一样，它们可以作为度量的最后单位。因此，任意取两个线段，它们的长度之比不过是各段所含的原子数目之比而已。任何三角形，特别是直角三角形的各边的情形自然也是如此。毕达哥拉斯学派从古埃及输入了“黄金三角形”，它的各边之比是3∶4∶5，不久又发现了其他的直角93三角形各边之比，如5∶12∶13和8∶15∶17等。这样，他们就认为一切三角形都是有理的，这种信念看来越发证明有据了。对这种三角形的研究导出了一个重大发现，在西方称之为毕达哥拉斯定理。这一定理的发现，一方面他们看到几何和算术的固有联系，又证实了他们的格言“万物皆数”（整数或整数比）；另一方面直接导致了意想不到的结果：正方形的对角线是不可能用边来度量的。这就动摇了古希腊数学的基础，由此产生了数学史上的第一次数学危机。

不可公度量因此得到了一个不公平的诨号“阿洛贡”（Alogon），即“不可说”。他们立誓不泄漏此数存在的秘密。但时间过去不到一百年，毕达哥拉斯的秘密已成为一切有思想的人的共同财富。这一发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线等量齐观，它告诉人们，有理数并没有铺满数轴，在数轴上存在着不为有理数的“空隙”。虽然我们似乎“看”不出它的存在，但是经后来的人们证明，这种“空隙”简直多得“不可胜数”，其数量远非有理数可比！

自毕达哥拉斯之后，古希腊数学家对无理数一直努力研究以试图躲避之。在度过了黑暗的中世纪以后，至1500年左右，无理数才渐渐被人们使用，但对于无理数是否是真实的数仍不能确定。德国数学家斯蒂费尔（1487—1567）在《综合算术》中讨论了用十进制小数的记号来表达无理数的问题，他认为无理数是有用的，同时又“不是一个真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西。”一个世纪以后，法国数学家帕斯卡和英国数学家巴罗（牛顿的老师， 1630—1677）仍认为，像3这样的数只能作为几何上的量来理解，无理数仅仅是记号，它们脱离连续的几何量便不能存在，而对无理数进行运算，要以欧多克索斯的关于量的理论来做逻辑依据。直到1707年，牛顿在他的《普遍的算术》中也坚持这一观点。当然，也有些人像哈里奥特、沃利斯、斯蒂文、笛卡儿等承认无理数是独立存在的东西，是地地道道的数。但从宏观上来说，整个欧洲在1800年以前，数学所走的道路实际上是完全依据几何来严格处理连续量的，根本没有无理量的理论基础，这也正是初期的微积分建立在几何基础之上的原因。直到19世纪，在微积分严格化的过程中，德国数学家戴德金给出了戴德金分割，才严格定义了实数（详见第5章）。

无理数的发现及其地位的确定，是人类理性探索精神的又一次胜利，它鼓舞着人们为了精神家园，不惜生命，不断探索，不断前进。