§2 工业文明的助推器——近代数学

2.1 近代数学的创立和发展

2.1.1 17世纪数学的特点及英国数学的发展

17世纪是西方殖民主义发展的一个世纪。17世纪初,欧洲的资本主义工业蓬勃发展,采矿、造船、纺织、造纸以及兵器生产,都迫切需要有较好的生产工具。于是,他们发明了抽水机、锻压机、起重机、车床等机械设备,有力地推动了机械学、力学的发展,使研究物体运动和变化成为科学的中心课题。力学在各门学科中首先兴盛起来,而力学的进步又直接推动了数学的发展。因而数学史上出现了一次重大的飞跃——从常量数学迈入了变量数学,以解析几何和微积分为代表的近代数学分别在法国和英国产生了。这一时期,英国的海上交通从地中海扩展到大西洋。海外贸易的发展又促使英国的资本主义工商业迅速发展,使它成为当时世界上最强大的资本主义国家。1662年,英国成立了皇家学会,对英国的科学研究起了很大的推动作用。在皇家学会中,云集了一大批优秀的科学家:牛顿(1642—1722)、沃利斯(1616—1703)、胡克(1635—1703)、马克劳林(1698—1746)等。世界数学的中心也由意大利转移到了英国。

牛顿

马克劳林

从数学的内容看,17世纪近代数学的发展主要有三大特点:

(1)产生了一系列新的领域:解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等。每一个领域都使初等数学相形见绌。

(2)出现了代数化的趋势。17世纪,代数比几何占有更重要的位置,并进一步向符号代数转化。几何问题常常反过来用代数方法解决。

(3)创造了大量新概念,使数学进一步抽象化。

从数学的外部看也有三大特点:

(1)数学与实际,特别是与其他自然科学的联系更加密切。实验科学的兴起,促进了数学的发展;数学的成果也渗透到其他科学中去。

(2)数学的教学与研究从个体劳动向集体劳动转变。

(3)数学研究冲破了“逻辑严格性”的束缚,敢于相信直观、相信物理学的洞察力。这是人类思想认识的一大进步。

2.1.2 18世纪数学的特色及法国数学的发展

18世纪,英国的工业革命和法国的启蒙运动,极大地发展了生产力,解放了人们的思想。由于法国大革命的胜利,大规模的资本主义企业逐渐发展起来。自由贸易的政策也促进了资本主义工商业的发展,推动了科学技术的进步,也出现了一大批优秀的科学家和工程师。这时法国的自然科学水平超过了英国,跃居世界首位。工业和军事的需要,又极大地促进了数学的发展。

拉格朗日

拉普拉斯

欧拉

克莱罗(1713—1765)研究了曲线和曲面的力学问题和光学问题;拉格朗日(1736—1813)和贝努利兄弟研究了力学和天体运行,建立了变分法和常微分方程理论;达朗贝尔(1717—1783)、拉普拉斯(1749—1827)、拉格朗日研究了振动、弹性力学和万有引力,建立了偏微分方程理论;继帕斯卡(1623—1662)之后,蒙日(1746—1818)发展了射影几何;继笛卡儿(1596—1660)之后,蒙日又补充了解析几何;达朗贝尔、拉普拉斯,还有瑞士数学家欧拉(1707—1783)开创了复变函数论;克莱罗开创了微分几何。这一切都表明:法国的数学已超过了英国,法国已成为世界数学的中心,这种势头一直从18世纪,保持到19世纪中叶。总的来说,18世纪数学的发展又呈现了新的特色:

(1)以微积分发展成数学分析,它成为后来数学发展的主流。

(2)数学发展的动力,除了来自物质生产之外,一个直接的动力是来自物理学、力学和天体力学发展的需要。

(3)数学已明确地分为纯粹数学和应用数学。纯粹数学不再依附于实际而独立发展,进一步深化了理性文化;应用数学则与工业文明相互促进,共同发展。

2.2 近代数学的成熟

2.2.1 19世纪的数学文化

18世纪初数学的发展已达到了丰茂成林的境地。到19世纪,数学又发生了一系列革命性的变化,几乎在一切领域内都取得了引人注目的成就:以俄国数学家罗巴切夫斯基(1792—1856)为代表的非欧几何的诞生;以挪威数学家阿贝尔(1802—1829)、法国数学家伽罗瓦(1811—1832)为代表的抽象代数的创立;以法国数学家柯西(1789—1857)为代表的分析基础的奠定;以瑞士数学家施泰纳(1796—1863)为代表的射影几何的复兴;以高斯(1777—1855)为代表的数论的新开拓,令人目不暇接。在分析学中,傅里叶(1786—1863)级数论的产生和建立,使得函数概念有了重大突破。在代数中,伽罗瓦群论的产生,使得代数运算的概念有了重大突破。在几何学中非欧几何的诞生,使得空间概念也有了重大突破。这三项突破促使近代数学迅速向现代数学转变。数学基础的研究也受到数学家的重视,并逐步形成了实数理论、集合论、数理逻辑和几何基础(公理体系)。这些都为即将到来的现代数学打下了更深厚的基础。另外,数学不断分化、不断综合的过程已经显露苗头,数学应用的范围更加广泛,并取得了辉煌的成果。

阿贝尔

伽罗瓦

2.2.2 德国数学的发展

随着19世纪德国资产阶级革命运动的发展,德国建立了统一的德意志帝国。工业迅速发展,生产的机械化程度逐年提高,这使德国的工业很快就赶超了英法等老牌资本主义国家。德国积极采用最新科学成就,大力实行鼓励科学技术发展的政策。科学技术发展了,反过来又促进了德国经济的增长。至19世纪末,德国便成为世界经济大国。1873年,德国在世界上最早建立“国立物理研究所”,由国家组织科学研究,以促进科技繁荣。此时著名科学家成批涌现,科学研究硕果累累。

在欧洲各国的自然科学不断进步的情况下,著名的德国古典哲学也发展起来。他们以思辨原则为基础,提出了系统的关于自然界全貌的理论。特别是康德强调在一切自然科学中应用数学的重要性,他把数学和自然科学紧密地联系在一起,这就有力地推动了德国数学的发展。至19世纪中叶,德国已成为世界数学大国,进而又成为世界数学的中心:外尔斯特拉斯(1815—1889)(与柯西、康托尔、戴德金等一起)完成了分析的算术化;戴德金(1831—1916)、康托尔(1831—1916)、外尔斯特拉斯建立了实数理论;康托尔建立了集合论;高斯发现了非欧几何,并在数论、代数、分析、概率论、级数理论等方面做出了重要贡献;黎曼(1826—1866)创立了黎曼几何,并提出了拓扑流形的概念;希尔伯特(1862—1943)提出了几何学的公理化系统;克莱因(1849—1925)统一了几何学,并创立了自守函数;雅可比(1804—1851)创立了椭圆函数理论;艾森斯坦(1823—1852)研究了二次型和二元三次型理论;狄利克雷(1805—1859)发展了数论和分析学;库默尔(1810—1893)又深入研究了数论;克罗内克则对代数学进行了深刻的研究。所有这些,都说明了德国数学的雄厚实力和近代数学的异常繁荣。

高斯

雅可比

2.3 小结

经过一个多世纪的发展,近代数学的三个组成部分都取得了极为重要的成就:微积分发展成为数学分析,方程论发展成为高等代数,解析几何发展成为高等几何。伴随着工业和经济的发展,数学得到了飞速发展,数学的中心由英国转移到法国,又从法国转移到德国。