§3 后工业文明腾飞的翅膀——现代数学

3.1 现代数学概述

进入20世纪以来，科学技术不断出现震撼世界的重大创造和发明：原子能的利用，电子计算机的出现，空间技术的推进，分子生物化学的形成，以及激光、合成材料、农业新技术和高能物理等，一场新的技术革命到来了！这种后工业文明既是数学应用的结果，又为数学的进一步发展提供了动力。由此，数学得到了巨大的发展，其规模之宏伟，影响之深远，均非前几个世纪所能比拟的。

从20世纪初到第一次世界大战（1914—1918）结束，可以称为现代数学的创始时期。这期间，德国的数学成就最为突出。集合论已为大多数数学家所接受，形成了现代数学的基础。黎曼几何、群论、群表示论、点集拓扑、多复变、泛函分析的工作已初露端倪。然而作为大多数工作主流的还是三角级数、积分论、单复变函数论、数论、微分方程论等经典数学。希尔伯特的公理化方式和形式主义，几乎给20世纪的每一门学科打上了印记。这时贡献突出的数学家有：法国数学家庞加莱（1854—1912）、德国数学家希尔伯特、法国数学家勒贝格（1875—1941）、法国数学家E．嘉当（1869—1951）、美国数学家外尔（1885—1955）、德国数学家豪斯多夫（1868—1942）、法国数学家弗雷歇（1878—1973）、匈牙利数学家里斯（1880—1956）、俄国数学家马尔可夫（1856—1922）、英国数学家吉布斯（1839—1903）、法国数学家波莱尔（1871—1956）等。

20世纪20年代至30年代是现代数学的发展时期。庞加莱去世后，法国失去了首屈一指的权威，而许多年青的数学家又葬身于前线。所以，第一次世界大战后除了老的函数论外，现代数学的发展势头不猛。德国虽是战败国，但数学家未上前线，加上哥廷根的传统，使德国仍然保持世界数学的中心地位。这时，以研究基础数学著称的波兰学派异军突起。匈牙利、奥地利分别出现冯·诺伊曼（1903—1957）、哥德尔（1906—1978）这样著名的数学家。苏联和日本的数学也在迅速成长。英国仍然是经典分析的天下，而当时美国的数学家多是在欧洲留学后成长起来的。至30年代，世界数学的中心由德国逐步转向美国。美国开明的人才政策，使得一向冷落的美国数学界突然热闹起来，美国单方面向欧洲派遣留学生的历史从此结束了，他国反而向美国大量派遣留学生。法国一批年青的数学家不甘落后，经过努力，形成了著名的布尔巴基学派，在数学界又独树一帜。以姜立夫（1890—1978）为代表的中国年青的数学家也脱颖而出，他们的学术水平已经达到了国际先进水平。

抽象代数、代数拓扑、泛函分析是现代数学的三根理论支柱，它们在20世纪20年代和30年代中期奠定了基础。随着三根理论支柱的建立，20世纪以来数学日益抽象的势头越来越大。

20世纪40年代至50年代是现代数学的发展和成熟时期。一方面，由于第二次世界大战的浩劫，一批有才华的数学家遭受了纳粹的百般摧残，数学界蒙受了难以估量的损失。另一方面，反法西斯战争也促使了应用数学飞速发展，给现代数学的发展注入了新的活力，结出了丰硕的果实。运筹学、控制论等新的数学分支应运而生，尤其是电子计算机于1944年投入使用。计算机的产生与发展，使计算数学迅猛发展，并对整个数学产生了深刻的影响。与此同时，理论数学也有了巨大的发展，各个数学分支的联系更加密切。至此，可以说现代数学已经相当成熟了。

20世纪40年代以后，美、苏、英、法等国走在现代数学的前列。以华罗庚（1910—1985）、陈省身（1919—2004）、冯康（1920—1993）、苏步青（1902—2003）、陈建功（1893—1971）为代表的中国数学家，相继进入数学的主流圈，向世界数学高峰挺进，取得了可喜的成果。德国和日本的数学家在度过了战争和战争后的一段困难时期之后，也开始向主流数学挺进，出现了像希策布鲁赫（德国，1927— ）和小平邦彦（日本，1915—1997）这样著名的数学家。

20世纪60年代之后，是现代数学的深化时期。理论上更抽象、应用上更74广泛、计算机更普及是这一时期数学发展的总趋势。一方面，数学分支越来越多，越分越细，已有上百个不同的分支。另一方面，这些学科又彼此融合，互相促进，彼此交织在一起，产生出许多边缘性和综合性学科。一些重大问题的解决，常常打破了传统分科的界限。某一科目的新方法，往往被移植到另一科目中去，孤立发展的情况已不复存在了。

3.2 苏联成为数学大国

十月革命（1917）后，苏联的社会主义现代化建设速度很快；第二次世界大战后，苏联在经济上曾成为世界另一超级大国。在重工业和国防工业方面，它具有很强的实力，核武器、火箭导弹、人造卫星、宇宙飞船等都处于世界领先水平。

强大的经济实力和先进的科学技术也使苏联成为数学强国。如柯尔莫哥洛夫对开创现代数学的一系列重要分支做出了重大贡献。他建立了在测度论基础上的概率论公理系统；创立了随机过程论；将经典力学与信息论结合起来，解决了对称量刚体高速旋转的稳定性和磁力线旋转的稳定性；创立了信息算法理论。维诺格拉多夫对解析数论做出了卓越的贡献。他证明了哥德巴赫—维诺格拉多夫定理；完善和发展了求各种三角和的方法。辛钦（1894—1959）是现代概率论的奠基人，在分析学、排队论、数论、概率论对统计力学的应用方面都有重要贡献。卢津（1883—1950）和亚历山大洛夫（1896—1982）共同建立了描述性函数论。卢津还发现了新的集射影集；在微分方程、微分几何等领域也做出了突出贡献。邦特里亚金（1908—1988）建立了拓扑群的邦特里亚金对偶定理，给出了邦特里亚金示性类；在振动理论和最优控制理论方面，发现了邦特里亚金极值原理。盖尔范德（1906—1968）发展了交换赋范环论；研究了广义函数，在微分几何和代数拓扑方面颇有建树。事实说明，苏联无愧为现代数学的大国。雄厚的数学实力，保障了苏联科学技术的领先水平。即使苏联解体后，俄罗斯仍然具有强大的数学实力和科技实力。这也必将使其在今后人类文明的发展中扮演着重要的角色。

3.3 美国成为数学强国

经过第二次世界大战，各主要工业发达国家都受到严重的经济挫伤，急待休养生息。而美国则因战时军需工业的发展，产值翻了番，一跃成为世界经济大国，并进一步成为世界超级大国。此后，美国将军工技术转入民用，刺激了工农业生产向机械化、电气化、自动化迈进。雷达的发展，促进了电视广播与通信事业的新进展。喷气式飞机的出现，带来了交通运输工具的革命。火箭技术使宇航事业成为可能。原子能科学改变了能源的取向。自动化技术、信息论成为改变生产面貌与社会面貌的重要手段。电子计算机的发明与使用，大大提高了各种效率，使科学技术高速发展，同时也有力地推动了数学的发展。20世纪中叶，美国进入了数学强国的行列。

由于社会经济发展的需要，加上美国开明的人才政策，使美国数学界人才济济，硕果累累，一片繁荣。20世纪40年代，冯·诺依曼（1903—1957）创建了对策论。伯克霍夫（1884—1944）发明极小极大方法推进了动力系统的研究，这个理论把拓扑和分析结合起来，成为数学研究的一个主要工具。维纳（1894—1964）与生物学家、工程技术人员合作，创建了控制论这一新学科。仙农（1917—2001）在贝尔电话研究所工作时，创建了信息论。陈省身（美籍华人，1919—2004）将纤维丛应用于微分几何，提出了被后人广泛应用的陈类（示性类）。

20世纪50—70年代，霍夫曼（1925—1999）等研究组合数学取得很大进展，并广泛应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等方面。基费提出了优选法。杜邦公司提出了统筹法。贝尔曼（1920—1984）创立了动态规划理论。鲁滨逊（1918—1974）提出了非标准分析。扎德创建了模糊数学。伊利诺斯大学的阿佩尔和哈肯在计算机的辅助下证明了四色问题，开辟了人与机器合作去解决理论问题的新途径。

自20世纪中叶以后，美国数学家频频获得国际数学大奖，充分显示了其强大的数学实力。美国成为当今世界的数学中心已无可争辩。美国对数学的态度与古罗马帝国对数学的态度形成了鲜明的对比。美国人对数学的投资，展示了其长远的发展眼光。良好的学术氛围和优越的数学人才政策，使得美国数学异常繁荣。敢于冒险、勇于探索的民族精神，鼓舞着一大批优秀的学者把数学当作一种事业或使命，而不是一种谋生的手段。美国正以惊人的力量吸引着来自世界各地的数学人才。借助强大的数学力量，美国科学技术的整体实力和综合国力领先于世界其他国家。

美国的发展告诉我们，数学特别是基础数学是强国之本。对数学的投资是最明智的投资，也是最有眼光、最具长远的投资。正如拿破仑所说，一个国家只有数学蓬勃发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善与国家繁荣昌盛密切相关。

3.4 小结

当今，数学的重要性已显得越来越明显，扫除“数学盲”的问题已经代替了过去扫除“文盲”的问题。无论是物理学家试图建立一种宇宙的新理论，股票市场分析员预测下一轮股市的涨跌，神经生物学家构建大脑功能模型，还是军事情报专家优化军事资源配置，以及计算语言学使用统计方法和数理社会学构造数学模型，他们都在使用数学。现代文明中“高技术”的本质就是数学技术！因为高科技的内容往往是一些精确、量化的指标，这恰恰是数学的核心内容。破译密码需要代数与数论，飞机和汽车设计需要流体力学中的数学方程，金融和股票预测需要随机分析，通信和信息安全需要离散数学，资产投放需要最优化方法，天气预测和仿真需要并行计算，实验设计和资料分析需要统计学，图像处理技术需要数学模型。数学就像空气和水一样，无人不需、无处不在。我们所处的世界将越来越受数学支配，人们的认识过程和认识程度已经深受数学的影响。我们要想把一个问题或事情表述得越准确就越需要数学。

从数学的外部来看，经济、科学技术的发展是同数学中心的转移紧密相连的。数学的发展往往是社会进步、经济繁荣、科学技术进步的有利条件或必要条件。所以，数学发展好的国家往往其社会、经济等都比较发达。而且，数学对政治制度、哲学思想、文化思潮的影响也是深刻的，有时甚至是十分关键的。当然，数学与社会、经济的发展不一定完全同步，第一次世界大战后，波兰数学的发展就是一个典型的例子。

从数学的内部来看，至20世纪末，数学已变成了一张结构精密细致、交织得错综复杂而又彼此紧密联系的网，这张网为分析和理解世界上的各种现象提供了有力的手段。数学不仅成为自然界的通用语言，也成了人类思考的语言。这时，纯粹数学在独立发展、不断深化的同时，找到了它的实际原型，得到了广泛的应用。经典应用数学也在持续发展，经济数学、数理语言学、生物数学等新兴应用数学学科，如雨后春笋般涌现。应用数学与计算机的联系更加紧密，那些可以使用计算机的数学方法获得了优先发展，数学程序成了应用数学的重要组成部分。信息技术、生命科学、能源科学、材料科学、环境科学、经济与金融、社会科学等都与数学紧密相连，数学成了最基础的科学，成了所有科学的框架和中心。

自20世纪60年代以来，抽象的“空间”概念和“无限”概念模糊了“数量”和“测量”的意义，在某种程度上也超越了人类的认知。迅速积累的关于数学的抽象研究使数学与物理现实的距离越来越远，而日常生活和“现实存在”却进入了抽象领域。数学正从自然科学中分离出来，将发展成为与自然科学并列的数学科学。数学的内容正在急剧膨胀。数学家，即使是一流的数学家，也只能在数学的某一个分支上做出重大贡献，同时横跨几个数学领域并能做出突出贡献的数学家已难以出现。集体创作、相互交流更适合新时期的数学研究方式。数学与公众的距离似乎越来越远，而数学与实际的联系又越来越紧密。人们无时无刻不使用数学，而又视数学为畏途。可见，未来的数学既有希望又有困难。我们认为，随着大学教育的普及，公众的数学素养正在逐步提高；许多数学家正在为现代数学的普及而努力；数学的尖端领域又有一支实力雄厚的数学队伍开拓着新的数学天地。展望数学的未来，我们应该对困难有充分的认识，更应充满信心！

借助数学家的聪明和智慧，人类文明正在跳出地球，飞向浩瀚而神秘的宇宙，以无法想象的力量和速度创造着崭新的更加辉煌的文明。就让我们插上数学的翅膀，在宇宙的空间和思维的空间中翱翔，共同相约下一个星球，热切期盼着梦幻般的灿烂明天！