第四节　经验生产函数

实用的生产函数是经验生产函数，是从企业历史生产数据中模拟出来的，它是对企业大量的生产实际经验的概括和归纳总结。因此，针对不同的情况，可以归纳出不同表达形式的生产函数，这里只对线性生产函数、多次项生产函数、柯布-道格拉斯生产函数作简单介绍。而一些其他生产函数将放在本章的附录4A-5中介绍，供有兴趣的读者参考。

这里还需要说明的是这种从实际生产中模拟估计出来的经验生产函数与前面所讨论的理论生产函数还是有一点区别的。在理论上，生产函数被定义为在一定的技术条件下，一组投入要素组合和最大产出间的关系，隐含了技术有效。而从实际生产中获得的数据，无论是时间序列数据，还是截面序列数据，回归得到的生产函数，都是在一定的技术条件下，投入要素的平均产出情况。从实用的观点来看，当需要估计一组投入要素组合将有多少产出时，这种平均产出的生产函数则更有用。

一、线性生产函数

在实际生产过程中，投入与产出之间的关系往往都是非线性的。但在一定的范围内，也有一定程度上的线性。为简单起见，我们常将近似线性的生产函数假定为线性生产函数。线性生产函数是一种最简单的生产函数，它可表示为

式（4.4.1）中，Q为产量；X_i为投入要素；a_i为参数，特点是一次齐次性，规模报酬不变，各投入要素之间也都完全可以替代。显然，这与实际生产过程相差较远，但由于形式简单、易于估计，因此在一定的条件下用来估算产量也有着实用意义。

二、多次项生产函数

通过前面对生产函数的短期、长期情况的分析，我们已经观察到了一个比较具有普遍性的现象。在一定的技术条件下，当只有一个投入变量发生变动时，迟早要出现边际实物报酬递减的现象。在多个投入变量发生变动时，也出现了规模报酬先是递增，然后递减的现象。要描述这一现象，比较合适的生产函数形式是含有三次项的多次项生产函数。仍先以比较简单的只有一个可变投入的情况为例，设L为可变投入，则生产函数可表达为

这里的a_i是指待要估计的参数。当不投入要素时，产出当然也为零；开始投入后，一次项起主导作用，产出大体上和投入的数量成正比；而随着投入要素的数量增加，二次项要发挥主导作用，总产量会迅速增加，边际产量在递增；若投入继续增加，到一定程度后，三次项开始起主导作用，三次项前面的参数通常是负的，总产量上升的速度要减慢下来，边际产量也要开始递减；倘若投入要素还继续增加，边际产量还会出现负值，总产量也就相应地要下降。式（4.4.2）中的系数a_i就是从实际生产中采集的数据，利用回归分析的方法得到的。回归的结果也要经过统计检验和经济检验。

利用表4.2.1提供某制衣厂的数据，我们可以得到表4.4.1的回归结果。

从表4.4.1中可知总产量函数为

平均产量的函数和边际产量的函数分别为

只要在一定的时期内，对某一个企业的投入产出情况，或同时对某一个行业的许多企业的投入产出情况进行充分的观察、记录，在大量占有数据、资料的基础上，进行回归分析，就可以估计出式（4.4.2）中的系数。

对于有两个投入要素在变动时，仍然可以用含三次项的多项式方程来表示。就是要稍复杂一些，常用的表达式为

三、柯布-道格拉斯生产函数

幂指数函数形式常是生产函数很好的表达形式，这里最著名的是柯布-道格拉斯生产函数，简称C-D生产函数。它是由统计学家柯布（C. W. Cobb）和经济学家道格拉斯（P. H. Douglas）在20世纪20年代后期，研究了大量的时间序列生产数据而归纳出来的。其一般表达式为

式（4.4.7）中，A为一定技术条件下的规模参数；α和β为要估计的待定参数。柯布-道格拉斯生产函数有以下一些特点。

1．边际产量

同理，

投入要素劳动L和资本K的边际产量正好分别等于它们平均产量的α和β倍。

2．边际技术替代率

将式（4.4.8）和式（4.4.9）代入式（4.3.5）可得

当用劳动L替代资本K时，随着投入的劳动L的不断增加，对资本K的替代数量越来越少，边际技术替代率与投入的资本和劳动之间的比例有关，是递减的，等产量曲线凸向原点。

3．产出弹性

投入要素劳动L和资本K的幂指数α和β正好分别是它们的产出弹性。

4．生产力弹性

由于生产力弹性是所有投入要素的产出弹性之和，因此，

α加β大于、小于还是等于1，决定了企业生产的规模报酬是递增、递减还是不变，因此判断起来十分方便。柯布-道格拉斯生产函数结构简洁、含义丰富，得到广泛的应用，称作C-D生产函数。其缺点是指数函数计算复杂，但只要对式（4.4.7）两边取对数，就可以线性化成

又可以利用简单的最小二乘回归分析法，确定A、α和β值，从而也就得到了生产函数。

如利用表4.3.1的数据，可以得到表4.4.2的回归结果。

进而得到C-D生产函数为