第三节　比例问题

一、比和比例

此类题目一般在题干中给出诸如部分在整体中占几分之几，已知部分求整体。这类题目的解法一般是设出整体的值，再由已知条件分别列出各部分的值，最后利用相互间的关系列出方程求解。

比和比例问题的关键和核心是弄清楚相互变化的关系，比如，b比a增加了20%，则b是a的120%，而a是b的1÷1. 2 =。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，则现在的价格是调价前的30%。

【例1】某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数(　)。

A.少9人　　B.多9人　　C.少6人　　D.多6人

——2015年国考第63题

【解析】B。根据“去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24%”可得，总人数为6÷(32%－24%) =75人;则去甲厂实习的有75×32% =24人，去丙厂实习的有75×(1－32%－24%) =33人;因此，去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数多9人。故选B。

二、百分数

百分数在每年行测数量关系中均有出现，命题频率较高，甚至可以说是必考内容。

1.特值比例

【例2】甲地到乙地，步行比骑车速度慢75%，骑车比公交慢50%，如果一个人坐公交从甲地到乙地，再从乙地步行到甲地，共用1个半小时。问:骑车从甲地到乙地多长时间?(　)

A. 10分钟　　　　B. 20分钟　　　　C. 30分钟　　　　D. 40分钟

——2013年天津市考第8题

【解析】B。乍一看，这道题难度系数很高，题目中给出的实际量太少，别怕，不要忘了我们的百分数，利用百分数，得到速度之间的比例关系，设特值、列方程，解出答案。具体如下，由题知步行速度∶骑车速度∶公交速度= 1∶4∶8，设三者速度分别为1、4、8，甲地到乙地的距离为s，则有:+=1. 5，解得s =。因此，骑车从甲地到乙地用时为÷4 =小时，即20分钟。故选B。

2.等值变换

【例3】一个容器内有一定量盐水，第一次加入适量水后，容器内盐水浓度为3%，第二次再加入同样多的水后，容器内盐水浓度为2%，则第三次加入同样多的水后盐水浓度为(　)。

A. 0. 5%　　　　B. 1%　　　　C. 1. 2%　　　　D. 1. 5%

——2012年天津市考第8题

【解析】D。整个变化过程中溶质不变，统一百分数的分子，3与2的最小公倍数为6，变化如下:。故选D。

三、浓度问题★★

解浓度问题要了解下面几个基本公式:

【例4】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?(　)

A. 14%　　　　B. 17%　　　　C. 16%　　　　D. 15%

——2013年广西南宁事业单位第36题

【解析】D。题目中溶液蒸发三次，但溶质的质量始终未变，所以可以根据溶质不变这个条件去列方程求浓度。设最初溶液的质量为a，每次蒸发掉的水为b，第三次蒸发后溶液的浓度为x，则有:(a－b)×10% =(a－2b)×12% =(a－3b) x，解得x =15%。故选D。

【秒杀技巧】等溶质平均浓度核心公式。(其中r平均为中间一次变化后的浓度，r1为首次变化浓度，r3为终浓度。)设终浓度为x，直接代入公式有:，解得x =15%。

【例5】1个玻璃瓶盛满纯酒精，第一次倒出10毫升后用水加满，第二次又倒出10毫升后再用水加满，这时玻璃瓶里的酒精浓度是25%，则瓶容积是(　)毫升。

A. 20　　　　B. 30　　　　C. 40　　　　D. 60

——2014年四川泸州事业单位第41题

【解析】A。每次倒出与倒入量等同情况下的连续稀释问题，公式为:最后浓度=初始浓度×(1－假设瓶子容积为x毫升，我们知道纯酒精的浓度为100%，则有:25% =100%×(1－)2，解得x =20。故选A。

技巧点燃

浓度问题常用的解题方法有:方程法、赋特殊值法、十字交叉法，相关例题见各章节。

四、利润问题★★★

利润问题是近年来命题的热点，涉及的常用公式有:

1.基础题型

【例6】某件商品如果打九折销售，利润是原价销售时的2/3;如果打八折后再降价50元销售，利润是原价销售时的1/4。该商品如果打八八折销售，利润是多少元?(　)

A. 240　　　　B. 300　　　　C. 360　　　　D. 480

——2014年北京市考第74题

【解析】C。设商品原价为10x，利润为y，则有:10x－9x =，10x－8x+50 =，解得x =200，y =600。所以，商品原价为2000，成本为2000－600 =1400，则打八八折的价格为1760，因此利润为1760－1400 =360。故选C。

【例7】一本《十万个为什么》售价M元，利润是成本的20%，如果把利润提高到30%，那么售价应该提高多少元?(　)

A. M/10　　　　B. M/11　　　　C. M/12　　　　D. M/14

——2014年福建泉州事业单位第97题

【解析】C。由“售价M元，利润是成本的20%”可知，成本为元，“利润提高到30%”说明新售价为× 1. 3元，因此，售价需要提高元。故选C。

【例8】某商场在进行“满百省”活动，满100省10，满200省30，满300省50。大于400的消费只能折算为等同于几个100、200、300的加和。已知一位顾客买某款衬衫1件支付了175元，那么买3件这样的衬衫最少需要(　)。

A. 445元　　　　B. 475元　　　　C. 505元　　　　D. 515元

——2012年下半年联考－河南第46题

【解析】B。分情况讨论:(1)由“满100省10”可知，若一件衬衫支付175元，则其原价为185元，买三件总费用应为185×3 =555 =300+200+55，按照“满300省50，满200省30”可得，买三件需付费300－50+200－30+55 =475元;(2)由“满200省30”可知，若一件衬衫支付175元，则其原价为205元，买三件总费用应为205 ×3 =615 =300+300+15，按照“满300省50”可得，买三件需付费300－50+300－50+15 =515元。综合来看，最少需要付费475元。故选B。

技巧点燃

本题需要分情况进行讨论，且两种情况讨论的结果不一样;若题目问“买3件这样的衬衫‘可能’付费多少”，则475和515均为正确项。

2.分段收费

分段收费问题是指处在不同区间，收费标准不一样，要求根据各阶段的标准，求出最后总数值的问题。

【例9】某游乐园提供打折的团体门票。当团队人数低于50时，票价为10元/人;团队人数在51～100时，票价为8元/人;团队人数超过100时，票价为5元/人。某校甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付944元;如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付530元。问乙班有多少人?(　)

A. 46　　　　B. 47　　　　C. 48　　　　D. 49

——2014年四川省考第55题

【解析】C。假设甲班有x人(50＜x＜60)，乙班有y人(y＜50)，根据题意有:8x+10y =944，因为10y的尾数为0，则8x的尾数一定为4，由于50＜x＜60，可推出x =53或者58，此时y =52(＞50，舍去)或者48(＜50，符合条件)，因此可得甲班人数为58人，乙班人数为48人。验证:两班人数和为106，联合起来付款为106×5 = 530，符合题意。故选C。

【秒杀技巧】两个班合在一起买票共付款530元，若票价为8元/人，则总人数为530÷8 =66. 2人(舍弃，人数应该为整数) ;若票价为5元/人，则总人数为530÷5 =106人(整数，可用)。设甲班的人数为x，乙班的人数为y，则有:8x+10y =944，x+ y =106，解得x =58，y =48，和题目条件“甲班有50多人，乙班不足50人”相吻合。故选C。