第二节　方程问题

一、基本方程

基本方程法是行测考试数量关系的灵魂所在，每一位考生对其都要非常熟练。统观近几年的考题，每一年的考题里面都有方程法的影子，碰到方程法的题目，考生需要注意的是，列出方程以后要快速地解方程，千万不要以为列出方程以后就万事大吉，随着考试难度的增加，现阶段方程计算的难度也在逐年加大。

基本方程法解题步骤:

1.假设未知数(设未知数时，可以求谁设谁，也可以设中间变量，还可以整体假设) ;

2.通过读题寻找题干中的等量或者是非等量关系，列方程;

3.快速解方程。

【例1】某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少?(　)

A. 50%　　　　B. 40%　　　　C. 70%　　　　D. 60%

——2014年国考第66题

【解析】A。从问题中可知需要求解的是现在再增加2人以后，党员在总人数当中的比重是多少，但是题目中没有告知原有的45人当中有几人是党员。所以在设未知数的时候不能直接设这个比重是多少，而应该假设原有的45人当中有几人是党员;设该单位原有党员x名，结合题干可以得到: x÷45+6% =(x+5)÷50，解得x =18，那么现在单位里面共有党员人数为18+5+2 =25人，即现在党员占总人数的比重为25÷50 =50%。故选A。

【例2】某产品售价为67. 1元，在采用最新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番，问该产品最初的成本为多少元?(　)

A. 51. 2　　　　B. 54. 9　　　　C. 61　　　　D. 62. 5

——2013年上半年联考－安徽第59题

【解析】C。现在的方程法考题喜欢与经济利润联系在一起，原因是在经济利润问题中会出现大量的百分数，在方程问题里面出现百分数，会无形中增加方程求解的难度，所以是出题人热衷的考查方式，本题就是一个很好的方程法与经济利润结合的例子。题干中询问的是最初的成本是多少，那么直接设未知数，列方程求解。假设该产品最初的成本为x，则有:67. 1－(1－10%)×x =2×(67. 1－x)，解得x =61。故选C。

二、盈亏问题

把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，就叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

盈亏问题的常见题型为给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，因此就会有多种结果的组合。

解决这类问题的关键是要抓住两次分配时盈亏总量的变化，经过比对后，再来进行计算。

1.基础题型

【例3】出租车队去机场接某会议的参会者，如果每车坐3名参会者，则需另外安排一辆大巴送走余下的50 人;如每车坐4名参会者，则最后正好多出3辆空车。问该车队有多少辆出租车?(　)

A. 50　　　　B. 55　　　　C. 60　　　　D. 62

——2013年上半年联考－云南第23题

【解析】D。根据盈亏问题公式可知，(盈+亏)÷(两次每车分配数的差) =车数。所以，有出租车(50+3× 4)÷(4－3) =62辆。故选D。

【例4】若干个玩具分给几个小孩子，如果每人分3个，则余8个;每人5个，则最后一个人分得的数不够5个，那么，小孩是多少个?(　)

A. 5或6个　　　　B. 7个　　　　C. 6或7个　　　　D. 8个

——2014年河南郑州事业单位第47题

【解析】A。设小孩有m个，最后一个人缺x个(1≤x≤4)，则有: m =，x =2时，m =5; x =4时，m =6;因此，小孩有5或6个。故选A。

2.条件转换型

条件转换型盈亏问题不能直接运用公式进行计算，需要先将一定的条件转化，使之成为跟第一部分相类似的题型，再运用公式计算。

【例5】端午节大家一起包粽子，每个粽子需要一张粽叶，如果每个粽子包80克米则多出10张粽叶，如果每个粽子包60克米则少10张粽叶。问有多少张粽叶?(　)

A. 60　　　　B. 70　　　　C. 80　　　　D. 90

——2012年浙江事业单位第46题

【解析】B。“每个粽子包80克米则多出10张粽叶”相当于少800克米，“每个粽子包60克米则少10张粽叶”相当于多600克米，由盈亏问题公式得，共有粽叶(800+600)÷(80－60) =70张。故选B。

3.关系互换型

这类题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据基本盈亏问题的解法计算。

【例6】食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉还差6元;若买12千克猪肉则还剩4元，已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问食堂管理员带了多少钱?(　)

A．114　B．122　C．124　D．148

——2013年贵州事业单位第41题

【解析】C。因为每千克牛肉比猪肉贵3元，所以买10千克猪肉，就会剩下3×10－6 =24元，与条件“若买12千克猪肉则还剩4元”，构成了常规的盈亏问题;因此，猪肉的价钱是(24－4)÷(12－10) =10元，所带钱数为12×10+4 =124元。故选C。

三、鸡兔同笼

解鸡兔同笼题的基本关系式是:

兔数=(实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数) ;

鸡数=(每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数) ;

可以把均值较大的对象当作兔子，较小的当作鸡。

【例】某次竞赛共有25道题，规定做对一题得8分，做错或不做一题倒扣4分。此次竞赛小明得了128分，那么，他做对了多少道题?(　)

A. 16　　　　B. 17　　　　C. 18　　　　D. 19

——2014年河南郑州事业单位第59题

【解析】D。假设小明全部试题都被扣分了，那么被扣了25×4 =100分，与总分相差228分，因此，他做对的题目数为228÷(8+4) =19。故选D。

四、不定方程★★★★★

不定方程:未知数个数多于方程个数，通过解方程无法直接得到结果的方程。奇偶特性、尾数特性是解不定方程常用的技巧，将其特性应用到一些复杂的数量问题中，会使问题变得简单。

【例7】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?(　)

A. 36　　　　B. 37　　　　C. 39　　　　D. 41

——2012年国考第69题

【解析】D。读完这道题，最直接的想法就是列方程来求解，设每位钢琴老师带学生人数为x，每位拉丁舞老师带学生人数为y，由题意可知:5x+6y =76。这之后发现不能列出其他的方程，虽然知道每位教师带的人数为质数，但质数个数较多，逐个代入过于耗时。此时，可以尝试利用数字特性来求解。由于76为偶数，6y也为偶数，根据奇偶特性可以知道5x也必须是偶数。因此，x必须是一个偶数。而既是质数又是偶数的数只有2，因此x只能取2。将x =2带入方程，求得y为11。接着，可以求出剩下的学生人数为:4×2+ 3×11 = 41人。故选D。

【例8】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱(　)。

A.多1个　　B.少1个　　C.多2个　　D.少2个

——2013年河南省政法干警考试第39题

【解析】A。不定方程。3个箱子第一次共放了6个球，可知第二次共放了16个球;分别用甲、乙、丙代表三个箱子第一次所放球的数量，则有:2甲+3乙+4丙=16，且甲、乙、丙的数值只能在1、2、3中选择; 2甲、4丙和16都是偶数，则3乙是偶数，乙应该是偶数，只能是2; 2甲+4丙=16－2×3 =10，化简得，甲+2丙=5，则甲= 3，丙=1;最终，甲箱一共有3+2×3 =9个球，乙箱一共有2+3×2 =8个球，甲比乙多1个。故选A。