第十节 植树、方阵及渡河问题

一、植树问题

植树问题基本公式:路长=段数×间距;需要特别注意的是:路的两端是否需要种树;涉及的公式如下:

线形植树(路的两端都种时)∶棵树=段数+1(双边植树的话要乘以2) ;

环形植树∶棵树=段数;

两端均不植树∶棵树=段数-1。

【例1】某条道路的一侧种植了25棵杨树,其中道路两端各种有一棵,且所有相邻的树距离相等。现在需要增种10棵树,且通过移动一部分树(不含首尾两棵)使所有相邻的树距离相等,则这25棵树中有多少棵不需要移动位置?( )

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

——2013年北京市考第84题

【解析】A。单边线形植树,树比间隔多1,所以25棵树有24个间隔,35棵树有34个间隔。总长设为24和34的最小公倍数408米,则原来每隔17米种一棵,现在每隔12米种一棵,所以在204米(17和12的最小公倍数)处正好重合,加上首尾的2棵,总共是3棵。故选A。

【例2】施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯,根据施工要求,必须在距西墙375米处安装一盏,并且各吊灯在东西墙之间均匀排列(墙角不能装灯)。该施工队至少需要安装多少盏吊灯?( )

A. 6    B. 7    C. 8    D. 9

——2013年河北省考第42题

【解析】B。要使安装的吊灯最少,就要使间距最大。在距西墙375米处安装一盏,并且各吊灯在东西墙之间均匀排列,意味着间距是375和600的公约数。375和600的最大公约数为75,则段数为600÷75 =8。墙角不能装灯,即两端不植树的情况,棵树=段数-1 =8-1 =7。故选B。

二、方阵问题★★

求解方阵问题首先要掌握基本公式:

1.N排N列的实心方阵总人数为N2;

2.在方阵中相邻两圈人数,外圈比内圈多8人,外边比内边多2人;

3.方阵总人数=(最外层人数÷4+1)2

【例3】某仪仗队排成方队,第一次排列若干人,结果多余100人;第二次比第一次每排增加3人,结果缺少29人。仪仗队总人数是多少?( )

A. 600    B. 500    C. 450    D. 400

——2013年黑龙江事业单位第37题

【解析】B。由题目“排成方队”可知这是一道方阵问题。设该仪仗队总人数为x人,第一次每排有y人。则有: y2+100 = x,(y+3)2-29 = x。解得x =500,y =20。故选B。

【秒杀技巧】代入排除法,选项中减去100是完全平方数或者加上29是完全平方数的只有B。

【例4】用红、黄两色鲜花组成的实心方阵(所有花盆大小完全相同),最外层是红花,从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆,那么完成造型共需黄花( )。

A 48盆 B. 60盆 C. 72盆 D. 84盆

——2012年下半年联考-河南第42题

【解析】B。方阵相邻两层差8,最外层= 44(红花),次外层= 36(黄花),第三层= 28(红花),第四层= 20(黄花),第五层=12(红花),第六层=4(黄花),所以黄花=4+20+36 =60。故选B。

三、渡河问题

渡河问题的模型为:设有A人渡河,船能载B个人,且船上要留一个人划船,求需要过几次河才能使A人全到对岸。对此模型,可以从A中抽一人固定在船上划船,则共需渡河img次。

【例5】49名探险队员过一条小河,只有一条可乘7人的橡皮船,过一次河需要3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟?( )

A. 54    B. 48    C. 45    D. 39

——2013年福建事业单位第12题

【解析】C。注意题中渡河过程中橡皮船上要留1人划船,即每次渡河人数为6人。这是一个典型的渡河问题。对本题套用上述公式,则需渡河img=8次,由于前7次渡河要往返各一次,第8次只需过河不需要返回,所以需要过2×7+1 =15次河,过一次河需要3分钟,即共需要15×3 =45分钟。故选C。