第十一节　排列组合与概率★★★★★

一、排列组合★★★

加法原理:做一件事分多个类别，则总步骤等于各类别之和。即如果能完成某件事的人有n个，其中，第一个人有m1种方法，第二个人有m2种方法，…，第n个人有mn种方法，那么，完成这件事一共有: n = m1+ m2+ …+ mn种不同的方法。

乘法原理:做一件事分多个步骤，则总步骤等于各步骤之积。即如果完成一件事共需要n个步骤，其中，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事一共有: n = m1×m2×…×mn种不同的方法。

在n个不同的元素中任取m个排成一排(有顺序)，有:= n×(n－1)×…×(n－m+1)种方法。

在n个不同的元素中任取m个组成一组(无顺序)，有: = n×(n－1)×…×(n－m+1) /m×(m－1)×(m－2)×…×1种方法。

1.基础题型

【例1】小王忘记了朋友手机号码的最后两位数字，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨对朋友的手机号码?(　)

A. 90　　　　B. 50　　　　C. 45　　　　D. 20

——2013年河北村官第45题

【解析】B。要保证拨对手机号码，需要分步考虑倒数第一位和倒数第二位数字的各种可能。可见这是一道排列组合问题。题中要求倒数第一位是奇数，则可以从1，3，5，7，9中任选一个，有5种选择方法;倒数第二位可从0～9中选择，有10种选择方法，那么最多要拨5×10 =50次，才能保证打通朋友的电话。故选B。

2.分类分步★★★

【例2】数字3、5至少都出现一次的三位数有多少个?(　)

A. 48　　　B. 52　　　C. 54　　　D. 60

——2014年四川省考第57题

【解析】B。数字3、5至少都出现一次的情况有以下三种:(1) 3和5均出现1次的情况为(排除035和053这两种情况) ;(2) 3出现2次、5出现1次的情况为×1 =3;(3) 5出现2次、3出现1次的情况为×1 =3。分类用加法，因此，总数合计为46+3+3 =52种。故选B。

【例3】有8人要在某学术报告会上作报告，其中张和李希望被安排在前三个作报告，王希望最后一个作报告，赵不希望在前三个作报告，其余4人没有要求。如果安排作报告顺序时要满足所有人的要求，则共有多少种可能的报告序列?(　)

A. 441　　　　B. 484　　　　C. 529　　　　D. 576

——2015年北京市考第82题

【解析】D。王被排在最后一个，不需要分析;张和李被排在前三个，有=6种可能;赵不在前三，只需从除张、李、赵、王外的四个人中任选一人放到前三，有4种排法;其余四人全排列即可，有=24种;分步用乘法，因此，共有6×4×24 =576种可能的报告序列。故选D。

3.捆绑插空★★★

若题目要求某些对象必须相邻，则可把要求相邻的对象捆绑在一起;若题目要求不相邻，可先考虑剩余部分，最后再插空进去。

【例4】某市举办经济建设成就展，计划在六月上旬组织5个单位参观，其中1个单位由于人数较多，需要连续参观2天，其他4个单位只需参观1天。若每天最多只能安排一个单位参观，则参观的时间安排共有(　)种。

A. 630　　　　B. 700　　　　C. 15120　　　　D. 16800

——2012年广东省考第7题

【解析】C。六月上旬共10天，将“连续参观2天”捆绑为1天，则题目可转化为“9天安排5个单位来参观，每天安排1个单位”，因此方法共有P(9，5) =15120种。故选C。

【例5】某道路旁有10盏路灯，为节约用电，准备关掉其中3盏。已知两端的路灯不能关，并且关掉的灯不能相邻，则有(　)种不同的关灯方法。

A. 20　　　　B. 40　　　　C. 48　　　　D. 96

——2011年上海市考B卷第60题

【解析】A。排除最两端的两盏，相当于在剩余5盏灯中插入不相邻的3盏不亮的灯，故情况有=20种。故选A。

4.隔板应用★★★

【例6】将7个大小相同的橘子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个橘子，一共有几种分配方法?(　)

A. 14　　　　B. 18　　　　C. 20　　　　D. 22

——2014年河南省考第36题

【解析】C。本题采用“隔板法”，7个橘子排成一列，恰好形成了6个空，我们只需要在这6个空中插入3个板，即可分成4堆，且每堆至少1个。因此，分配方法有=20种。故选C。

5.逆向分析

若正向求解不容易做时，可以考虑逆向分析。

【例7】由1～9组成一个3位数，3位数肯定有数组重复的组合有多少种?(　)

A. 220　　　　B. 255　　　　C. 280　　　　D. 225

——2013年天津市考第13题

【解析】D。组成的三位数共有9×9×9种，其中没有重复的有=9×8×7，所以，有重复的共有9×9×9 －9×8×7 =225种。故选D。

二、概率问题★★★★★

概率问题的基本公式:

总体概率=符合条件的各种情况的概率之和;

分步概率=满足条件的每个步骤的概率之积。

1.基础题型

【例8】某种密码锁的界面是一组汉字键，只有不重复并且不遗漏地依次按下界面上的汉字才能打开，其中只有一种顺序是正确的。要使得每次对密码锁进行破解的成功率在万分之一以下，则密码锁的界面至少要设置多少个汉字键?(　)

A. 5　　　　B. 6　　　　C. 7　　　　D. 8

——2013年安徽省考第51题

【解析】D。题目中说“只有一种顺序是正确的”说明满足条件的情况数为1;假设设置汉字n个，则总的情况数为(是n个汉字的全排列数)。因此，每次对密码锁进行破解的成功率=1/。成功率小于1/10000，则＞10000，代入选项可知，只有D项n =8时，满足要求。故选D。

2.分类分步★★★

【例9】乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两个球员的胜率分别是60%与40%。在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率是多少?(　)

A.为60%　　　　　　　B.在81%～85%之间

　C.在60%～90%之间　　D.在91%之上

——2013年吉林事业单位第41题

【解析】D。分析题目可以得知:甲若想获胜，后三局有以下三种情况:(1)甲胜第三局，出现这种情况的概率为60%。(2)乙胜第三局，甲胜第四局，这种情况出现的概率为40%×60% =24%。(3)乙胜第三局和第四局，甲胜第五局，这种情况出现的概率为40%×40%×60% =9. 6%。故甲获胜的概率为三种情况下的概率之和，为60%+24%+9. 6% =93. 6%。故选D。

3.期望概率

【例10】某商场以摸奖的方式回馈顾客，盒内有五个乒乓球，其中1个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则每一位顾客所获奖励的期望值为多少?(　)

A. 10　　　　B. 1. 2　　　　C. 2　　　　D. 2. 4

——2014年山东村官第37题

【解析】D。期望值等于不同奖项金额乘以该金额的概率，再求和;。故选D。

4.逆向分析★★★★

【例11】箱子中有编号为1～10的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号积是5的倍数的概率是多少?(　)

A. 43. 2%　　　　B. 48. 8%　　　　C. 51. 2%　　　　D. 56. 8%

——2013年上半年联考－山东第57题

【解析】B。要使3次抽到小球编号积是5的倍数，则至少有一次需要抽到5或10。每次抽不到的概率为0. 8，所以3次抽到小球编号积是5的倍数的概率为1－0. 83=48. 8%。故选B。

【例12】某单位分为A、B两个部门，A部门有3名男性，3名女性，B部门有4名男性，5名女性，该单位欲安排三人出差，要求每个部门至少派出一人，则至少一名女性被安排出差的概率为(　)。

A. 107/117　　　　B. 87/98　　　　C. 29/36　　　　D. 217/251

——2013年陕西省考第84题

【解析】A。问题中出现“至少”，可以考虑采用逆向思维。安排三人出差，每个部门至少一个人，则有2种情况: A部门2人，B部门1人和A部门1人，B部门2人，因此所有的情况数为351;要求“至少1名女性”，则我们考虑反面情况，出差的人全部为男性的情况有30，因此至少一名女性出差的概率为1－。故选A。

5.相遇概率

【例13】两个人约定在某一指定地点会面:时间定在中午12点与下午1点之间。根据约定，第一个到达的人等第二个人15分钟，然后就离开，如果这两个人都随机地在中午12点至下午1点之间选择各自的到达时刻，问他们实际相遇的概率是多少?(　)

A. 7/16　　　B. 1/4　　　C. 3/8　　　D. 0

——2012年宁夏事业单位第34题

【解析】A。设12点过x分钟甲到，12点过y分钟乙到。则x的范围是0～60，y的范围也是0～60。以x为横轴，y为纵轴建立直角坐标系，可能的空间是0～60的正方形区域，而相遇的条件是x－y的绝对值小于15，这两条直线和正方形相交的中间部分就是相遇的可能性。他们实际相遇的概率是。故选A。