2016年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解

一、选择题：l～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

1．设函数，则为的（）．

A．可去间断点

B．跳跃间断点

C．振荡间断点

D．无穷间断点

【答案】D

【解析】，而

所以x＝0为的无穷间断点．

2．设函数在处可导，且，则（）．

A．－2　  B．2 C．－6 D．6

【答案】C

【解析】

由于函数在处可导，则

所以

3．设，则（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】令，则

所以

　 4．设函数，则的值依次为（）．

A．2，－4 B．2，4  C．－2，－4 D．－2，4

【答案】A

【解析】由已知条件，计算得

5．多项式中与的系数依次为（）．

A．－1，－1 B．1，－1  C．－1，1　 D．1， 1

【答案】B

【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是

本题的项出现意味着每行元素中都有项出现，因此只能是，又，则项系数为1；对于项，一定不含，也一定没有，那只有是；又，则系数为－1．

6．设A为4×5阶矩阵，若为线性方程组的基础解析，则（）．

A．4  B．3  C．2  D．1

【答案】D

【解析】 A是4×5矩阵，则是5×4矩阵，是5个方程4个未知数的齐次方程组，其基础解系为3个解向量，故，所以，即．

7．设二维随机变量的概率分布为

则（）．

A．0.1　  B．0.18 　C．0.8　 D．0.9

【答案】C

【解析】根据题意可得

8．设为来自总体的简单随机样本．如果服从t分布，则C＝（）．

A．　  B．1　 C．　 D．

【答案】A

【解析】t分布的典型模式为，其中，且X和Ｙ相互独立，则，．而，所以．

根据的典型模式，其中均服从标准正态分布且相互独立，所以．

总之，即，因此，.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．

9．

【答案】

【解析】由于，由洛必达法则得

所以．

10．曲线的凹区间是

【答案】

【解析】函数的定义域为，而

解不等式，得，所以曲线的凹区间是．

11．设函数，则

【答案】

【解析】，所以

12．反常积分

【答案】

【解析】，记，则

13．设矩阵，则

【答案】

【解析】由行列式的初等变换可得

  14．设随机变量，且X与Y相互独立，则

【答案】17

【解析】计算得

三、解答题：l5～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分10分）

设，求．

解：因为，故有

又因为，，所以，.

16．（本题满分10分）

过点（0,0）作曲线的切线l，求该曲线与切线l及y轴所围有界图形的面积．

解：设切点坐标（x₀,y₀）,则切线l的方程为

而点（0,0）点在直线上，故，解得x₀ ＝－1,因此切点为，所以切线方程l为．所以围成的平面图形的面积为

17．（本题满分10分）

求微分方程满足条件的解．

解：原微分方程可分离变量为

所以；

通解为；

将x＝１，ｙ＝0代入上式可得C＝1．

故通解为

18．（本题满分10分）

求函数的极值．

解：由已知条件计算得，令

解得驻点为（1,1）．

令，点（1,1）代入计算得

所以f（1,1）＝2是f（x,y）的极小值.

19．（本题满分10分）

计算二重积分，其中有界区域D由直线x＝0，y＝1及曲线围成．

解：计算如下

20．（本题满分11分）

设向量组

当为何值时，向量能由向量组线性表示；当表示式不唯一时，求其一般表示式．

解：设，得

对该方程组的增广矩阵进行初等行变换，得

当a≠－2, b为任意值时，，方程组有唯一解，即能由线性表示且表示方法唯一.

当a＝－2,b＝－3时，，该方程组有无穷多解，即向量能由线性表示且表示方法不唯一.

则，故方程组的通解为，k为任意常数．

即，为k为任意常数.

21．（本题满分11分）

设向量是矩阵的特征向量．

（I）求常数及向量所对应的特征值；

（II）求矩阵A的全部特征值和特征向量．

解：（I）设，则根据题意可知

即，解得

（II）将a＝3，b＝1代入矩阵A中，即

解得矩阵A的特征值为2，１，１．

当时，解方程组得

解得基础解系为．

则的所有特征向量为．

当时，解方程组得

解得基础解系为．

则的所有特征向量为．

22．（本题满分11分）

甲袋中有1个红球2个白球，乙袋中有2个红球2个白球，先从甲袋中任取2球放入乙袋中，再从乙袋中任取2球，X表示从甲袋中取出的红球数，Y表示从乙袋中取出的红球数．

（I）求（X,Y）的概率分布；

（II）求Cov（X,Y）．

解：（I）依题意分析知，X可能取值为0,1；Y可能取值为0,1,2,故

因此，（X,Y）的概率分布为

（II）

随机变量X,Y以及XY期望分别为

所以，

23．（本题满分11分）

盒子中有A和B两类电子产品各10个，A类产品的寿命服从参数为1的指数分布，B类产品的寿命服从参数为2的指数分布．随机地从盒子中取一个电子产品，以X表示所取产品的寿命．

（I）求X的概率密度；

（II）求方差DX．

解：（I）设A＝{取出的是A类产品},则＝{取出的是B类产品}

则

易知，，计算得

所以

得

（II）计算得