严格地说，实际系统都不同程度地存在非线性。非线性可分为非本质非线性和本质非线性。若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则称其是非本质非线性，如图2-6所示。若系统在平衡点处的特性不是连续的，而呈现出折线或跳跃现象，则称其为本质非线性，如图2-7所示。

非线性微分方程的求解一般较为困难，其分析方法远比线性系统要复杂。但在一定的条件下，可将非线性问题简化处理成线性问题，即所谓线性化。

非线性函数的线性化，一般有两种方法：一种方法是在非线性因素对系统的影响很小时，直接忽略非线性因素。另一种方法称为切线法，或微小偏差法，它是基于这样一种假设：控制系统在整个调节过程中有一个平衡的工作状态及相应的工作点，所有的变量与该平衡点之间只产生微小的偏差。在偏差范围内，变量的偏差之间近似具有线性关系。在此平衡工作点附近，运动方程中的变量不再是绝对数量，而是其对平衡点的偏差，此时运动方程称为线性化增量方程。

对于非本质非线性，由级数理论可知，可在给定工作点邻域将非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得到的线性方程代替原有的非线性方程。对于图2-7所示的本质非线性不能应用微小偏差法。

[例2-6]　设铁芯线圈电路如图2-8（a）所示，试列写以u_r为输入量，i为输出量的电路微分方程。

[解]　根据基尔霍夫定律列写电路方程为

　　（2-18）

式中，u_L是与磁通Φ（i）的变化率相关的线圈感应电动势。设线圈匝数为W，则有

　　（2-19）

将式（2-19）代入式（2-18），则有

　　（2-20）

由磁化曲线[图2-8（b）]知，磁通Φ是线圈中电流i的非线性函数，则式（2-20）可写成

　　（2-21）

式（2-21）是一个非线性微分方程。

以式（2-21）的非线性方程为例，讨论线性化的方法。设电路的电压和电流在某平衡点（u_r0，i₀）附近有微小的变化，并设Φ（i）在i₀的邻域内连续可导，则Φ（i）可展开成泰勒级数：

　　（2-22）

若在平衡点（u_r0，i₀）附近增量（i-i₀）变化很小，则可略去式（2-22）中高阶导数项，可得

　　（2-23）

或写为

　　（2-24）

式（2-24）就是磁通Φ和电流i的增量化线性方程。式中，L=，ΔΦ=Φ（i）-Φ（i₀），Δi=i-i₀。略去式（2-24）中的增量符号Δ，就可得到：

　　（2-25）

由式（2-25）求得dΦ（i）/di=L，代入式（2-21），有

　　（2-26）

式（2-26）便是铁芯线圈电路在工作点（u_r0，i₀）的增量线性化微分方程。平衡点变动时，L相应变化。

线性化处理有如下特点：

① 线性化是对某一平衡点进行的。平衡点不同，得到的线性化方程的系数亦不相同。

② 若要使线性化有足够的精度，调节过程中变量偏离平衡点的偏差必须足够小。

③ 线性化后的运动方程式是相对于平衡点来描述的。因此，可认为其初始条件为零。

④ 有一些非线性（如继电器特性）是不连续的，不能满足展开成泰勒级数的条件，就不能进行线性化，对于这类属于本质非线性的问题要用非线性控制理论来解决。